Potenz/2 hoch 9 Zehntel/Aufgabe/Lösung

Wir behaupten die Abschätzungen

$\mathrm{1,8}\le 2^{\frac{9}{10}}\le \mathrm{1,9}.$

Um dies zu zeigen, weisen wir die Gültigkeit der Abschätzungen

$\mathrm{1,}{8}^{10}\le 2^9=512\le \mathrm{1,}{9}^{10}.$

nach. Diese gelten wegen

$\begin{array}{cc}\mathrm{1,}{8}^{10}& =\mathrm{3,2}{4}^5\\ & =(\mathrm{3,2}{4}^2{)}^2\cdot \mathrm{3,24}\\ & =\mathrm{10,497}{6}^2\cdot \mathrm{3,24}\\ & \le 121\cdot 4\\ & =484\\ & <512\end{array}$

und

$\begin{array}{cc}\mathrm{1,}{9}^{10}& =\mathrm{3,6}{1}^5\\ & =(\mathrm{3,6}{1}^2{)}^2\cdot \mathrm{3,61}\\ & =\mathrm{13,032}{1}^2\cdot \mathrm{3,61}\\ & >169\cdot \mathrm{3,6}\\ & =\mathrm{608,4}\\ & >512.\end{array}$

Zur gelösten Aufgabe