Potenz/nte Ableitung/Aufgabe/Lösung

Die nullte Ableitung von

${}x^{0}=1\,$

ist diese Funktion selbst, ferner ist ${}0!=1$, was den Induktionsanfang sichert. Der Induktionsschluss ergibt sich für ${}n\geq 1$ mit

${}{\left(x^{n}\right)}^{(n)}={\left(nx^{n-1}\right)}^{(n-1)}=n{\left(x^{n-1}\right)}^{(n-1)}=n((n-1)!)=n!\,.$

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