Potenz rational/Basis und Exponent irrational/Wurzel 2/Aufgabe/Lösung

Wir betrachten zuerst ${}{\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}$. Falls diese Zahl rational ist, so sind wir fertig. Andernfalls ist ${}{\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}$ irrational. In diesem Fall ist nach den Potenzgesetzen

${}{\left({\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}\right)}^{\sqrt {2}}={\sqrt {2}}^{\left({\sqrt {2}}\cdot {\sqrt {2}}\right)}={\sqrt {2}}^{2}=2\,$

rational.

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