Potenzierung/Kommutativität/Beispielhafte Argumentation/Aufgabe

In der Schule wird Potenzrechnung durchgenommen und es geht um die Frage, ob

${}a^{b}=b^{a}\,$

ist. Als Gründe, dass dies gelten müsste, werden angeführt:

1. Es gilt ja auch ${}a+b=b+a$ und ${}a\cdot b=b\cdot a$, warum sollte das jetzt plötzlich nicht mehr gelten?
2. Das wäre gut, wenn das gelten würde, dann könnte man die kleinere Zahl immer oben hinschreiben und es wäre einfacher auszurechnen.
3. Wenn man beispielsweise ${}a=2$ und ${}b=4$ nimmt, so ist

   ${}2^{4}=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2=16=4\cdot 4=4^{2}\,,$

   warum sollte das für andere Zahlen nicht auch gelten?

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