Potenzmenge/Teilbarkeit/Teilmengenbeziehung/Aufgabe

Es sei ${}S$ eine Menge und ${}M={\mathfrak {P}}\,(S)$ die zugehörige Potenzmenge, die wir als kommutatives Monoid mit dem Durchschnitt als Verknüpfung auffassen. Es seien ${}A,B\in {\mathfrak {P}}\,(S)$. Zeige, dass folgende Eigenschaften äquivalent sind.

1. Es ist ${}B\subseteq A$.
2. Es ist ${}B=B\cap A$.
3. Es ist ${}A$ ein Teiler (im monoidtheoretischen Sinn) von ${}B$.

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