Potenzreihe für ebene Kurven/Elliptische Kurve/X^3+XY^2+Y/Beispiel

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Wir betrachten die ebene affine Kurve vom Grad drei, die durch die Gleichung gegeben ist. Die partiellen Ableitungen sind

Wir bestimmen zunächst, ob die Kurve glatt ist, in dem wir nach singulären Punkten schauen. Die erste partielle Ableitung liefert

Setzt man dies in die Kurvengleichung ein, so erhält man

woraus oder folgt. Für kann die zweite partielle Ableitung nicht verschwinden. Für die zweite Lösung ergibt die zweite partielle Ableitung die Bedingung

die nicht stimmt. Die Kurve hat also keine singulären Punkte und ist demnach glatt.

Wir berechnen die Potenzreihe , die die Kurve im Nullpunkt als Graph beschreibt (es ist ). Die Tangente im Nullpunkt ist durch gegeben (also die -Achse), was sowohl aus der Kurvengleichung direkt ablesbar ist, aber sich auch durch Betrachten der partiellen Ableitungen ergibt. Die Anfangsbedingungen sind daher . Für die folgenden Koeffizienten von müssen wir aus der Gleichung

über die Koeffizienten von die Bedingungen an herauslesen.

. Der Koeffizient zu liefert sofort .

. Der dritte Koeffizient liefert die Bedingung , woraus folgt.

. Wir müssen die Bedingungen betrachten, die sich aus

ergeben. Der linke Summand ist erstmals für den siebten Koeffizienten relevant, in den Koeffizienten darunter stehen jeweils isoliert, so dass sich ergibt. Der siebte Koeffizient ergibt die Bedingung

also .

. Diese Koeffizienten stehen wieder isoliert, so dass sie sein müssen.

. Der elfte Koeffizient liefert die Bedingung

so dass sich ergibt.

. Diese Koeffizienten stehen wieder isoliert, so dass sie sein müssen.

. Der fünfzehnte Koeffizient liefert die Bedingung

so dass sich ergibt.

Die Anfangsglieder von sind also