Wir betrachten die ebene affine Kurve vom Grad drei, die durch die Gleichung 
gegeben ist. Die partiellen Ableitungen sind
-
Wir bestimmen zunächst, ob die Kurve glatt ist, in dem wir nach singulären Punkten schauen. Die erste partielle Ableitung liefert
-
Setzt man dies in die Kurvengleichung ein, so erhält man
-
woraus 
oder 
folgt. Für kann die zweite partielle Ableitung nicht verschwinden. Für die zweite Lösung ergibt die zweite partielle Ableitung die Bedingung
-
die nicht stimmt. Die Kurve hat also keine singulären Punkte und ist demnach glatt.
Wir berechnen die Potenzreihe 
, die die Kurve im Nullpunkt als Graph beschreibt (es ist 
). Die Tangente im Nullpunkt ist durch 
gegeben (also die 
-Achse), was sowohl aus der Kurvengleichung direkt ablesbar ist, aber sich auch durch Betrachten der partiellen Ableitungen ergibt. Die Anfangsbedingungen sind daher 
. Für die folgenden Koeffizienten von 
müssen wir aus der Gleichung
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über die Koeffizienten von 
die Bedingungen an 
herauslesen.
. Der Koeffizient zu 
liefert sofort 
.
. Der dritte Koeffizient liefert die Bedingung 
, woraus 
folgt.
. Wir müssen die Bedingungen betrachten, die sich aus
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ergeben. Der linke Summand ist erstmals für den siebten Koeffizienten relevant, in den Koeffizienten darunter stehen 
jeweils isoliert, sodass sich 
ergibt. Der siebte Koeffizient ergibt die Bedingung
-
also 
.
. Diese Koeffizienten stehen wieder isoliert, sodass sie 
sein müssen.
. Der elfte Koeffizient liefert die Bedingung
-
sodass sich
ergibt.
. Diese Koeffizienten stehen wieder isoliert, sodass sie sein müssen.
. Der fünfzehnte Koeffizient liefert die Bedingung
-
sodass sich
ergibt.
Die Anfangsglieder von sind also
-
