Potenzreihe für ebene Kurven/Elliptische Kurve/X^3+XY^2+Y/Beispiel

Wir betrachten die ebene affine Kurve vom Grad drei, die durch die Gleichung ${}F=X^{3}+XY^{2}+Y=0$ gegeben ist. Die partiellen Ableitungen sind

${\frac {\partial F}{\partial X}}=3X^{2}+Y^{2}{\text{ und }}{\frac {\partial F}{\partial Y}}=2XY+1$

Wir bestimmen zunächst, ob die Kurve glatt ist, in dem wir nach singulären Punkten schauen. Die erste partielle Ableitung liefert

${}Y=\pm {\sqrt {3}}X\,.$

Setzt man dies in die Kurvengleichung ein, so erhält man

${}X^{3}+3X^{3}\pm {\sqrt {3}}X=0\,,$

woraus ${}X=0$ oder ${}X=\pm \ {\frac {\sqrt {\pm {\sqrt {3}}}}{2}}$ folgt. Für ${}X=0$ kann die zweite partielle Ableitung nicht verschwinden. Für die zweite Lösung ergibt die zweite partielle Ableitung die Bedingung

${}-1=\pm 2{\sqrt {3}}\left({\frac {\sqrt {\pm {\sqrt {3}}}}{2}}\right)^{2}=\pm {\frac {{\sqrt {3}}(\pm 3)}{2}}\,,$

die nicht stimmt. Die Kurve hat also keine singulären Punkte und ist demnach glatt.

Wir berechnen die Potenzreihe ${}Y=H(T)=\sum _{\ell =0}^{\infty }b_{\ell }T^{\ell }$, die die Kurve im Nullpunkt als Graph beschreibt (es ist ${}X=T$). Die Tangente im Nullpunkt ist durch ${}Y=0$ gegeben (also die ${}X$-Achse), was sowohl aus der Kurvengleichung direkt ablesbar ist, aber sich auch durch Betrachten der partiellen Ableitungen ergibt. Die Anfangsbedingungen sind daher ${}b_{0}=b_{1}=0$. Für die folgenden Koeffizienten von ${}H$ müssen wir aus der Gleichung

${}T^{3}+T(b_{2}T^{2}+b_{3}T^{3}+\ldots )^{2}+(b_{2}T^{2}+b_{3}T^{3}+\ldots )=0\,$

über die Koeffizienten von ${}T^{k}$die Bedingungen an ${}b_{\ell }$ herauslesen.

${}b_{2}$. Der Koeffizient zu ${}T^{2}$ liefert sofort ${}b_{2}=0$.

${}b_{3}$. Der dritte Koeffizient liefert die Bedingung ${}1+b_{3}=0$, woraus ${}b_{3}=-1$ folgt.

${}b_{4},b_{5},b_{6},b_{7}$. Wir müssen die Bedingungen betrachten, die sich aus

${}T(b_{3}T^{3}+b_{4}T^{4}\ldots )^{2}+(b_{3}T^{3}+b_{4}T^{4}+\ldots )=0\,$

ergeben. Der linke Summand ist erstmals für den siebten Koeffizienten relevant, in den Koeffizienten darunter stehen ${}b_{4},b_{5},b_{6}$ jeweils isoliert, so dass sich ${}b_{4}=b_{5}=b_{6}=0$ ergibt. Der siebte Koeffizient ergibt die Bedingung

${}b_{3}^{2}+b_{7}=0\,,$

also ${}b_{7}=-1$.

${}b_{8},b_{9},b_{10}$. Diese Koeffizienten stehen wieder isoliert, so dass sie ${}0$ sein müssen.

${}b_{11}$. Der elfte Koeffizient liefert die Bedingung

${}2b_{3}b_{7}+b_{11}=0\,,$

so dass sich ${}b_{11}=-{\frac {1}{2}}$ ergibt.

${}b_{12},b_{13},b_{14}$. Diese Koeffizienten stehen wieder isoliert, so dass sie ${}0$ sein müssen.

${}b_{15}$. Der fünfzehnte Koeffizient liefert die Bedingung

${}2b_{3}b_{11}+b_{7}^{2}+b_{15}=0\,,$

so dass sich ${}b_{15}=-2(-1)(-{\frac {1}{2}})+(-1)^{2}=-2$ ergibt.

Die Anfangsglieder von ${}H$ sind also

${}H=-T^{3}-T^{7}-{\frac {1}{2}}T^{11}-2T^{15}+\ldots \,.$