Wir betrachten die ebene affine Kurve vom Grad drei, die durch die Gleichung
gegeben ist. Die partiellen Ableitungen sind
-
Wir bestimmen zunächst, ob die Kurve glatt ist, in dem wir nach singulären Punkten schauen. Die erste partielle Ableitung liefert
-
![{\displaystyle {}Y=\pm {\sqrt {3}}X\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/afabac5fcbff3b64da10ed6c112beed36f7fb1f9)
Setzt man dies in die Kurvengleichung ein, so erhält man
-
![{\displaystyle {}X^{3}+3X^{3}\pm {\sqrt {3}}X=0\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b54c1ee0a6945a17734267cd45b5e9abbe15a6c)
woraus
oder
folgt. Für
kann die zweite partielle Ableitung nicht verschwinden. Für die zweite Lösung ergibt die zweite partielle Ableitung die Bedingung
-
![{\displaystyle {}-1=\pm 2{\sqrt {3}}\left({\frac {\sqrt {\pm {\sqrt {3}}}}{2}}\right)^{2}=\pm {\frac {{\sqrt {3}}(\pm 3)}{2}}\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/09746f53d3cdad6ccc71f4c88718a9d2202aaf1a)
die nicht stimmt. Die Kurve hat also keine singulären Punkte und ist demnach glatt.
Wir berechnen die Potenzreihe
, die die Kurve im Nullpunkt als Graph beschreibt (es ist
). Die Tangente im Nullpunkt ist durch
gegeben (also die
-Achse), was sowohl aus der Kurvengleichung direkt ablesbar ist, aber sich auch durch Betrachten der partiellen Ableitungen ergibt. Die Anfangsbedingungen sind daher
. Für die folgenden Koeffizienten von
müssen wir aus der Gleichung
-
![{\displaystyle {}T^{3}+T(b_{2}T^{2}+b_{3}T^{3}+\ldots )^{2}+(b_{2}T^{2}+b_{3}T^{3}+\ldots )=0\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/25ea89e9d3d6e501fb2f7198f56b4d3f7d1fe282)
über die Koeffizienten von
die Bedingungen an
herauslesen.
. Der Koeffizient zu
liefert sofort
.
. Der dritte Koeffizient liefert die Bedingung
, woraus
folgt.
. Wir müssen die Bedingungen betrachten, die sich aus
-
![{\displaystyle {}T(b_{3}T^{3}+b_{4}T^{4}\ldots )^{2}+(b_{3}T^{3}+b_{4}T^{4}+\ldots )=0\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4ae4ecb48ec8734ab3d33be0fb1aa9901468197)
ergeben. Der linke Summand ist erstmals für den siebten Koeffizienten relevant, in den Koeffizienten darunter stehen
jeweils isoliert, so dass sich
ergibt. Der siebte Koeffizient ergibt die Bedingung
-
![{\displaystyle {}b_{3}^{2}+b_{7}=0\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ea0910b901707c1dd38ab41f6bcdc1b48cd1acb)
also
.
. Diese Koeffizienten stehen wieder isoliert, so dass sie
sein müssen.
. Der elfte Koeffizient liefert die Bedingung
-
![{\displaystyle {}2b_{3}b_{7}+b_{11}=0\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/57075a38e3ae143b32cb007988f975a1c97ea7de)
so dass sich
ergibt.
. Diese Koeffizienten stehen wieder isoliert, so dass sie
sein müssen.
. Der fünfzehnte Koeffizient liefert die Bedingung
-
![{\displaystyle {}2b_{3}b_{11}+b_{7}^{2}+b_{15}=0\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1fc88c3ec8f4d1e7d08b3c99f0c5f4f985d96fd3)
so dass sich
ergibt.
Die Anfangsglieder von
sind also
-
![{\displaystyle {}H=-T^{3}-T^{7}-{\frac {1}{2}}T^{11}-2T^{15}+\ldots \,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a5d7928bb1536a7d59c54771060824c36aebc5f6)