Potenzreihe für ebene Kurven/Graph einer rationalen Funktion/X^3+XY+Y ist 0/Beispiel

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Wir betrachten die ebene affine Kurve vom Grad drei, die durch die Gleichung gegeben ist. Die partiellen Ableitungen sind

Die zweite Ableitung ist nur bei gleich , dort hat aber den Wert , d.h. die Kurve ist glatt. Im Nullpunkt haben die partiellen Ableitungen den Wert . Die zugehörige Tangente ist also die -Achse, was dazu passt, dass der lineare Term der Kurvengleichung ist.

Wir berechnen die Potenzreihe , die die Kurve im Nullpunkt als Graphen beschreibt (es ist ). Die Anfangsbedingungen sind . Für die folgenden Koeffizienten von müssen wir aus der Gleichung

also

über die Koeffizienten der die Bedingungen an herauslesen.

. Der zweite Koeffizient liefert sofort .

. Der dritte Koeffizient liefert die Bedingung , woraus folgt.

Die folgenden Koeffizienten liefern die Bedingung , so dass also die folgenden abwechselnd und sind. Man hat also eine einfache Rekursionsformel und es ist

Die Umformung der Kurvengleichung in

zeigt, dass hier der Graph einer rationalen Funktion (mit einem Pol bei ) vorliegt. Die angegebene Potenzreihe beschreibt also den Graphen einer rationalen Funktion als Graphen einer formal-analytischen Funktion.