Wir betrachten die ebene affine Kurve vom Grad drei, die durch die Gleichung
gegeben ist. Die partiellen Ableitungen sind
-
Die zweite Ableitung ist nur bei
gleich
, dort hat aber
den Wert
, d.h. die Kurve ist glatt. Im Nullpunkt haben die partiellen Ableitungen den Wert
. Die zugehörige Tangente ist also die
-Achse, was dazu passt, dass der lineare Term der Kurvengleichung
ist.
Wir berechnen die Potenzreihe
,
die die Kurve im Nullpunkt als Graphen beschreibt
(es ist
).
Die Anfangsbedingungen sind
.
Für die folgenden Koeffizienten von
müssen wir aus der Gleichung
-
![{\displaystyle {}F(T,H)=T^{3}+TH+H=0\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7cb31376d5d8654e2a7606cd4ef855e9b644a8e3)
also
-
![{\displaystyle {}T^{3}+T(b_{2}T^{2}+b_{3}T^{3}+\ldots )+(b_{2}T^{2}+b_{3}T^{3}+\ldots )=0\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f06ef60c12c73170d7bdeafccd810300805ffb7f)
über die Koeffizienten der
die Bedingungen an
herauslesen.
. Der zweite Koeffizient liefert sofort
.
. Der dritte Koeffizient liefert die Bedingung
,
woraus
folgt.
Die folgenden Koeffizienten liefern die Bedingung
,
so dass also die folgenden
abwechselnd
und
sind. Man hat also eine einfache Rekursionsformel und es ist
-
![{\displaystyle {}H=-T^{3}+T^{4}-T^{5}+T^{6}-T^{7}+\ldots \,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a5bd526bf76c48804f136ccb8440130fadc975b)
Die Umformung der Kurvengleichung in
-
![{\displaystyle {}Y={\frac {-X^{3}}{1+X}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/abb9c99260bed8f3c2cc42a96c65373f4a1f567b)
zeigt, dass hier der Graph einer rationalen Funktion
(mit einem Pol bei
)
vorliegt. Die angegebene Potenzreihe beschreibt also den Graphen einer rationalen Funktion als Graphen einer formal-analytischen Funktion.