Potenzreihe für ebene Kurven/Graph einer rationalen Funktion/X^3+XY+Y ist 0/Beispiel

Wir betrachten die ebene affine Kurve vom Grad drei, die durch die Gleichung ${}F=X^{3}+XY+Y=0$ gegeben ist. Die partiellen Ableitungen sind

${\frac {\partial F}{\partial X}}=3X^{2}+Y{\text{ und }}{\frac {\partial F}{\partial Y}}=X+1.$

Die zweite Ableitung ist nur bei ${}X=-1$ gleich ${}0$, dort hat aber ${}F$ den Wert ${}-1$, d.h. die Kurve ist glatt. Im Nullpunkt haben die partiellen Ableitungen den Wert ${}(0,1)$. Die zugehörige Tangente ist also die ${}X$-Achse, was dazu passt, dass der lineare Term der Kurvengleichung ${}Y$ ist.

Wir berechnen die Potenzreihe ${}Y=H(T)={\sum }_{\ell =0}^{\infty }b_{\ell }T^{\ell }$, die die Kurve im Nullpunkt als Graphen beschreibt (es ist $X=T$). Die Anfangsbedingungen sind ${}b_{0}=b_{1}=0$. Für die folgenden Koeffizienten von ${}H$ müssen wir aus der Gleichung

${}F(T,H)=T^{3}+TH+H=0\,,$

also

${}T^{3}+T(b_{2}T^{2}+b_{3}T^{3}+\ldots )+(b_{2}T^{2}+b_{3}T^{3}+\ldots )=0\,$

über die Koeffizienten der ${}T^{k}$ die Bedingungen an ${}b_{\ell }$ herauslesen.

${}b_{2}$. Der zweite Koeffizient liefert sofort ${}b_{2}=0$.

${}b_{3}$. Der dritte Koeffizient liefert die Bedingung ${}1+b_{3}=0$, woraus ${}b_{3}=-1$ folgt.

Die folgenden Koeffizienten liefern die Bedingung ${}b_{\ell -1}+b_{\ell }=0$, so dass also die folgenden ${}b_{\ell }$ abwechselnd ${}1$ und ${}-1$ sind. Man hat also eine einfache Rekursionsformel und es ist

${}H=-T^{3}+T^{4}-T^{5}+T^{6}-T^{7}+\ldots \,.$

Die Umformung der Kurvengleichung in

${}Y={\frac {-X^{3}}{1+X}}\,$

zeigt, dass hier der Graph einer rationalen Funktion (mit einem Pol bei ${}X=-1$) vorliegt. Die angegebene Potenzreihe beschreibt also den Graphen einer rationalen Funktion als Graphen einer formal-analytischen Funktion.