Potenzreihen/Gleiche Variable/Cauchyprodukt/Fakt/Beweis

Beweis

Der $i$ -te Summand der Reihe links ist

d_{i} = a_{i} z^{i}

und der $j$ -te Summand der Reihe rechts ist

e_{j} = b_{j} z^{j} .

Damit ist der $k$ -te Summand des Cauchy-Produktes der beiden Reihen gleich

\begin{matrix} c_{k} & = \sum_{i = 0}^{k} d_{i} e_{k - i} \\ = \sum_{i = 0}^{k} a_{i} z^{i} b_{k - i} z^{k - i} \\ = \sum_{i = 0}^{k} a_{i} b_{k - i} z^{i} z^{k - i} \\ = (\sum_{i = 0}^{k} a_{i} b_{k - i}) z^{k} . \end{matrix}