Potenzreihen/Gleiche Variable/Cauchyprodukt/Fakt/Beweis

Beweis

Der ${}i$ -te Summand der Reihe links ist

{}d_{i}=a_{i}z^{i}\,

und der ${}j$ -te Summand der Reihe rechts ist

{}e_{j}=b_{j}z^{j}\,.

Damit ist der ${}k$ -te Summand des Cauchy-Produktes der beiden Reihen gleich

{}{\begin{aligned}c_{k}&=\sum _{i=0}^{k}d_{i}e_{k-i}\\&=\sum _{i=0}^{k}a_{i}z^{i}b_{k-i}z^{k-i}\\&=\sum _{i=0}^{k}a_{i}b_{k-i}z^{i}z^{k-i}\\&={\left(\sum _{i=0}^{k}a_{i}b_{k-i}\right)}z^{k}.\end{aligned}}