Potenzreihenring/Körper/Lokaler Ring/Fakt/Beweis

Aus Wikiversity
Zur Navigation springen Zur Suche springen
Beweis

Es ist für eine beliebige Potenzreihe definitiv nicht gleich und somit sind die Variablen keine Einheiten. Sei . Dann ist der Koeffizient von nicht . Wir machen den Ansatz

und zeigen durch Induktion über den Grad von , dass es gibt, die diese Gleichung erfüllen. Zunächst ist

zu wählen. Seien nun alle Koeffizienten vom Grad schon gefunden. Der Koeffizient vor ist

und dieser soll werden. In der Summe sind die bekannt und sämtliche mit der Ausnahme von (der mit zu multiplizieren ist) sind auch schon bekannt, da diese kleineren Grad als haben. Es ist nun so zu wählen, dass die Gesamtsumme gleich ist, was wegen in eindeutiger Weise möglich ist. Das Komplement des Ideals besteht also nur aus Einheiten und somit handelt es sich um ein maximales Ideal. Der Restklassenkörper ist , und zwar gibt es einen kanonischen Isomorphismus

Zur bewiesenen Aussage