Potenzreihenring/Körper/Lokaler Ring/Fakt/Beweis

Beweis

Es ist $T_{1}P$ für eine beliebige Potenzreihe $P$ definitiv nicht gleich $1$ und somit sind die Variablen keine Einheiten. Es sei $Q\notin (T_1,\dots ,T_n)$. Dann ist der Koeffizient $a_0$ von $Q$ nicht $0$. Wir machen den Ansatz

$QP=(a_0+\sum _{\nu \in {\mathbb{N}}^n\setminus \{0\}}{a}_{\nu }{T}^{\nu })(b_0+\sum _{\mu \in {\mathbb{N}}^n\setminus \{0\}}{b}_{\mu }{T}^{\mu })=1$

und zeigen durch Induktion über den Grad von $\mu$, dass es $b_{\mu }$ gibt, die diese Gleichung erfüllen. Zunächst ist

$b_0:=\frac{1}{a_0}$

zu wählen. Es seien nun alle Koeffizienten vom Grad $<|\mu |$ schon gefunden. Der Koeffizient vor $T^{\mu }$ ist

$\sum _{\nu +\lambda =\mu }{a}_{\nu }\cdot b_{\lambda },$

und dieser soll $0$ werden. In der Summe sind die $a_{\nu }$ bekannt und sämtliche $b_{\lambda }$ mit der Ausnahme von $b_{\mu }$ (der mit $a_0$ zu multiplizieren ist) sind auch schon bekannt, da diese kleineren Grad als $|\mu |$ haben. Es ist nun $b_{\mu }$ so zu wählen, dass die Gesamtsumme gleich $0$ ist, was wegen  $a_0\ne 0$  in eindeutiger Weise möglich ist. Das Komplement des Ideals $(T_1,\dots ,T_n)$ besteht also nur aus Einheiten und somit handelt es sich um ein maximales Ideal. Der Restklassenkörper ist $K$, und zwar gibt es einen kanonischen Isomorphismus

$K⟶K[[T_1,\dots ,T_n]]⟶K[[T_1,\dots ,T_n]]/(T_1,\dots ,T_n).$

Zur bewiesenen Aussage