Potenzsummenformel/Bernoulli-Zahlen/Fakt

Es sei  $d\in \mathbb{N}$. 

Die Summe der ersten $N$ natürlichen $d$-ten Potenzen ist

$\sum _{k=0}^{N-1}{k}^d=\frac{1}{d+1}\sum _{j=1}^{d+1}(\genfrac{}{}{0ex}{}{d+1}{j})B_{d+1-j}{N}^j,$

wobei die $B_{d+1-j}$ die Bernoulli-Zahlen sind.

Insbesondere handelt es sich um ein Polynom vom Grad $d+1$ in $N$.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen