Prädikatenlogik/Aussagenlogische Tautologie/Einsetzen/Fakt/Beweis

Beweis

Wir führen Induktion über den Aufbau der aussagenlogischen Tautologien. Es sei ${}\varphi$ eines der aussagenlogischen Axiome in den Ausdrücken ${}\alpha ,\beta ,\gamma$ und es seien ${}p_{1},\ldots ,p_{n}$ die darin auftretenden Aussagenvariablen. Wir schreiben die zugrunde liegende aussagenlogische Tautologie in den Aussagenvariablen ${}p,q,r$ und nennen diese ${}\psi$. Dann ist

${}\varphi =\psi {\frac {\alpha ,\beta ,\gamma }{p,\,\,\,q,\,\,\,r}}\,.$

Somit ist insgesamt

${}\varphi '=\varphi {\frac {\beta _{1},\ldots ,\beta _{n}}{p_{1},\ldots ,p_{n}}}=\psi {\frac {\alpha {\frac {\beta _{1},\ldots ,\beta _{n}}{p_{1},\ldots ,p_{n}}},\beta {\frac {\beta _{1},\ldots ,\beta _{n}}{p_{1},\ldots ,p_{n}}},\gamma {\frac {\beta _{1},\ldots ,\beta _{n}}{p_{1},\ldots ,p_{n}}}}{p,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,q,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,r}}\,.$

D.h. ${}\varphi '$ entsteht durch Einsetzung von prädikatenlogischen Ausdrücken in eine Basistautologie und gehört somit zu den in Axiom gelisteten Tautologien. Es sei nun ${}\varphi$ eine aussagenlogische Tautologie, die durch Modens ponens erhalten wird. Dann gibt es also eine aussagenlogische Tautologie ${}\psi$ und ${}\psi \rightarrow \varphi$ ist ebenfalls eine aussagenlogische Tautologie. Nach Induktionsvoraussetzung sind dann ${}\psi {\frac {\beta _{1},\ldots ,\beta _{n}}{p_{1},\ldots ,p_{n}}}$ und ${}{\left(\psi \rightarrow \varphi \right)}{\frac {\beta _{1},\ldots ,\beta _{n}}{p_{1},\ldots ,p_{n}}}=\psi {\frac {\beta _{1},\ldots ,\beta _{n}}{p_{1},\ldots ,p_{n}}}\rightarrow \varphi {\frac {\beta _{1},\ldots ,\beta _{n}}{p_{1},\ldots ,p_{n}}}$ prädikatenlogische Tautologien. Da der Modus ponens eine erlaubte Schlussregel in der Prädikatenlogik ist, folgt, dass ${}\varphi {\frac {\beta _{1},\ldots ,\beta _{n}}{p_{1},\ldots ,p_{n}}}$ eine prädikatenlogische Tautologie ist.

Zur bewiesenen Aussage