Prädikatenlogik/Gleichheitstautologien/Axiom/Korrektheit/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei $I$ eine beliebige $S$-Interpretation. (1). Aufgrund der Bedeutung des Gleichheitszeichens unter jeder Interpretation gilt  $I(t)=I(t)$,  also

$I\models t=t.$

(2). Es gelte

$I\models s=t\wedge \alpha \frac{s}{x},$

also $I\models s=t$ und $I\models \alpha \frac{s}{x}$. Das bedeutet einerseits  $I(s)=I(t)$.  Andererseits gilt nach dem Substitutionslemma

$I\frac{I(s)}{x}\models \alpha .$

Wegen der Termgleichheit gilt somit auch

$I\frac{I(t)}{x}\models \alpha$

und daher, wiederum aufgrund des Substitutionslemmas, auch

$I\models \alpha \frac{t}{x}.$

Zur bewiesenen Aussage