Prädikatenlogik/Gleichheitstautologien/Folgerungen/Fakt/Beweis

Beweis

(1). Aufgrund der Gleichheitsaxiome haben wir

⊢ s = s

und

⊢ s = t \land (x = s) \frac{s}{x} \to (x = s) \frac{t}{x},

wobei $x$ eine Variable sei, die weder in $s$ noch in $t$ vorkomme. Daher sind die beiden substituierten Ausdrücke gleich $s = s$ bzw. $t = s$ . Eine aussagenlogische Umstellung der zweiten Zeile ist

⊢ s = s \to (s = t \to t = s),

sodass sich aus der ersten Zeile mittels Modus ponens

⊢ s = t \to t = s

ergibt.
(2). Es sei wieder $x$ eine Variable, die weder in $r$ noch in $s$ noch in $t$ vorkomme. Eine Anwendung des Substitutionsaxioms liefert

⊢ s = t \land (r = x) \frac{s}{x} \to (r = x) \frac{t}{x} .

Nach Einsetzen und einer aussagenlogischen Umstellung ist dies die Behauptung.
Für (3) siehe Aufgabe.
(4). Es sei $u$ eine Variable, die weder in einem der $s_{i}$ noch in einem der $t_{i}$ vorkommt. Für jedes $i = 1, \dots, n$ gilt nach Axiom (2) (mit $α = α_{i} = R t_{1} \dots t_{i - 1} u s_{i + 1} \dots s_{n}$ ) dann

⊢ s_{i} = t_{i} \to (R t_{1} \dots t_{i - 1} u s_{i + 1} \dots s_{n} \frac{s_{i}}{u} \to R t_{1} \dots t_{i - 1} u s_{i + 1} \dots s_{n} \frac{t_{i}}{u}),

also

⊢ s_{i} = t_{i} \to (R t_{1} \dots t_{i - 1} s_{i} s_{i + 1} \dots s_{n} \to R t_{1} \dots t_{i - 1} t_{i} s_{i + 1} \dots s_{n}) .

Diese Ableitbarkeiten gelten auch, wenn man die Vordersätze durch ihre Konjunktion

(s_{1} = t_{1}) \land \dots \land (s_{n} = t_{n})

ersetzt. Durch die Transitivität der Implikation ergibt sich daher

⊢ (s_{1} = t_{1}) \land \dots \land (s_{n} = t_{n}) \to (R s_{1} \dots s_{n} \to R t_{1} \dots t_{n}) .

Zur bewiesenen Aussage