Prädikatenlogik/Gleichheitstautologien/Folgerungen/Fakt/Beweis

Beweis

(1). Aufgrund der Gleichheitsaxiome haben wir

$\vdash s=s$

und

$\vdash s=t\wedge (x=s){\frac {s}{x}}\rightarrow (x=s){\frac {t}{x}},$

wobei ${}x$ eine Variable sei, die weder in ${}s$ noch in ${}t$ vorkomme. Daher sind die beiden substituierten Ausdrücke gleich ${}s=s$ bzw. ${}t=s$. Eine aussagenlogische Umstellung der zweiten Zeile ist

$\vdash s=s\rightarrow (s=t\rightarrow t=s),$

sodass sich aus der ersten Zeile mittels Modus ponens

$\vdash s=t\rightarrow t=s$

ergibt.
(2). Es sei wieder ${}x$ eine Variable, die weder in ${}r$ noch in ${}s$ noch in ${}t$ vorkomme. Eine Anwendung des Substitutionsaxioms liefert

$\vdash s=t\wedge (r=x){\frac {s}{x}}\rightarrow (r=x){\frac {t}{x}}.$

Nach Einsetzen und einer aussagenlogischen Umstellung ist dies die Behauptung.
Für (3) siehe Aufgabe.
(4). Es sei ${}u$ eine Variable, die weder in einem der ${}s_{i}$ noch in einem der ${}t_{i}$ vorkommt. Für jedes ${}i=1,\ldots ,n$ gilt nach Axiom  (2) (mit ${}\alpha =\alpha _{i}=Rt_{1}\ldots t_{i-1}us_{i+1}\ldots s_{n}$) dann

$\vdash s_{i}=t_{i}\rightarrow {\left(Rt_{1}\ldots t_{i-1}us_{i+1}\ldots s_{n}{\frac {s_{i}}{u}}\rightarrow Rt_{1}\ldots t_{i-1}us_{i+1}\ldots s_{n}{\frac {t_{i}}{u}}\right)},$

also

$\vdash s_{i}=t_{i}\rightarrow {\left(Rt_{1}\ldots t_{i-1}s_{i}s_{i+1}\ldots s_{n}\rightarrow Rt_{1}\ldots t_{i-1}t_{i}s_{i+1}\ldots s_{n}\right)}.$

Diese Ableitbarkeiten gelten auch, wenn man die Vordersätze durch ihre Konjunktion

$(s_{1}=t_{1})\wedge \ldots \wedge (s_{n}=t_{n})$

ersetzt. Durch die Transitivität der Implikation ergibt sich daher

$\vdash (s_{1}=t_{1})\wedge \ldots \wedge (s_{n}=t_{n})\rightarrow {\left(Rs_{1}\ldots s_{n}\rightarrow Rt_{1}\ldots t_{n}\right)}.$

Zur bewiesenen Aussage