Beweis
(1). Aufgrund der
Gleichheitsaxiome
haben wir
-
und
-
wobei
eine Variable sei, die weder in
noch in
vorkomme. Daher sind die beiden substituierten Ausdrücke gleich
bzw.
.
Eine aussagenlogische Umstellung der zweiten Zeile ist
-
sodass sich aus der ersten Zeile mittels Modus ponens
-
ergibt.
(2). Es sei wieder
eine Variable, die weder in
noch in
noch in
vorkomme. Eine Anwendung des
Substitutionsaxioms
liefert
-
Nach Einsetzen und einer aussagenlogischen Umstellung ist dies die Behauptung.
Für (3) siehe
Aufgabe.
(4). Es sei
eine Variable, die weder in einem der
noch in einem der
vorkommt. Für jedes
gilt nach
Axiom (2)
(mit
)
dann
-
also
-
Diese Ableitbarkeiten gelten auch, wenn man die Vordersätze durch ihre Konjunktion
-
ersetzt. Durch die Transitivität der Implikation ergibt sich daher
-