Prädikatenlogik/Junktoren/Dreiecke/Einführung/Textabschnitt

Eine weitere Art von mathematischen Aussagen entsteht dadurch, dass man Aussagen selbst zueinander in eine logische Beziehung setzt, indem man beispielsweise sagt, dass aus der Aussage ${}\alpha$ die Aussage ${}\beta$ folgt, oder dass ${}\alpha$ und ${}\beta$ zueinander äquivalent sind. Der Satz des Pythagoras besagt, dass wenn zwischen drei Punkten ${}A,B,C$ in der Ebene die Beziehung der Rechtwinkligkeit am Punkt ${}A$ besteht, dass dann zwischen den durch die drei Punkte definierten Streckenlängen ebenfalls eine bestimmte Beziehung zwischen den Abständen besteht. Wenn man die Rechtwinkligkeit wie oben mit dem dreistelligen Relationssymbol ${}R$ und die pythagoreische Längenbeziehung mit dem dreistelligen Relationssymbol ${}S$ bezeichnet, so gilt also

${\text{ aus }}R(A,B,C){\text{ folgt }}S(A,B,C),$

was wir formal als

$\forall A\forall B\forall C(R(A,B,C)\longrightarrow S(A,B,C))$

schreiben. Gilt davon auch die Umkehrung? Folgt also aus ${}S(A,B,C)$, dass ein rechter Winkel an ${}A$ vorliegt? Dies ist in der Tat der Fall! Der Kosinussatz besagt für ein beliebiges (echtes) Dreieck mit einem an ${}A$ anliegenden Winkel ${}\alpha$, dass

${}d(B,C)^{2}=d(A,B)^{2}+d(A,C)^{2}-2d(A,B)d(A,C)\cos \alpha \,$

gilt, wobei ${}d$ den Abstand zwischen zwei Punkten bezeichne. Der „Störterm“ rechts entfällt genau dann, wenn ${}\cos \alpha =0$ ist, und dies ist nur bei ${}90$ Grad der Fall. Daher gilt die Äquivalenz

$\forall A\forall B\forall C(R(A,B,C)\longleftrightarrow S(A,B,C))$

(ein Dreieck, bei dem zwei Eckpunkte zusammenfallen, akzeptieren wir als rechtwinklig an dem doppelten Punkt).

Unser Rechtwinkligkeitsprädikat ${}R(A,B,C)$ besagt, dass der Winkel am Eckpunkt ${}A$ ein Rechter ist. Wenn man sich dafür interessiert, ob überhaupt ein rechtwinkliges Dreieck vorliegt, so muss ${}R(A,B,C)$ oder ${}R(B,C,A)$ oder ${}R(C,A,B)$ gelten. Die Oderverknüpfung wird formal als

$(R(A,B,C)\vee R(B,C,A))\vee R(C,A,B)$

geschrieben (die Assoziativität der oder-Verknüpfung steht im Moment noch nicht zur Verfügung).

Für ein echtes Dreieck haben wir oben gefordert, dass die konstituierenden Punkte ${}A,B,C$ paarweise verschieden sind. Die Gleichheit von zwei Punkten wird durch ${}A=B$ und die Negation davon, also die Verschiedenheit der beiden Punkte, wird in der Mathematik durch ${}A\neq B$, in der Logik aber durch ${}\neg {\left(A=B\right)}$ ausgedrückt. Dass drei Punkte paarweise verschieden sind, erfordert ein logisches und, das durch ${}\wedge$ symbolisiert wird, so dass sich die Echtheit eines Dreiecks durch

${\left(\neg {\left(A=B\right)}\wedge \neg {\left(A=C\right)}\right)}\wedge \neg {\left(B=C\right)}$

ausdrücken lässt.

Fußnoten