Prädikatenlogik/Modellbeziehung/Abbildung/Injektiv und surjektiv/Beispiel

Es sei ${}S$ ein Symbolalphabet, das außer einer Variablenmenge ${}V$ aus einem einzigen einstelligen Funktionssymbol ${}F$ bestehe (die Konstantenmenge und die Relationssymbolmengen seien also leer), sodass eine ${}S$-Struktur aus einer Menge ${}M$ zusammen mit einer Abbildung

$f=F^{M}\colon M\longrightarrow M,\,a\longmapsto f(a),$

besteht. In einer solchen Interpretation wird jeder ${}S$-Ausdruck interpretiert. Der Ausdruck

${}\alpha =\forall y(\exists x(Fx=y))\,$

besagt die Surjektivität von ${}f=F^{M}$. D.h. in einer ${}S$-Interpretation gilt

$I\vDash \alpha$

genau dann, wenn die durch die Interpretation festgelegte Abbildung ${}f$ surjektiv ist. Der Ausdruck

${}\beta =\forall x(\forall y((Fx=Fy)\rightarrow (x=y)))\,$

besagt die Injektivität von ${}f$. D.h. in einer ${}S$-Interpretation gilt

$I\vDash \beta$

genau dann, wenn die durch die Interpretation festgelegte Abbildung ${}f$ injektiv ist.