Prädikatenlogik/Quantoren/Dreiecke/Einführung/Textabschnitt

Mathematische Aussage enthalten häufig auch Existenzaussagen. Wenn wir bei dem eben erwähnten Beispiel bleiben, so bedeutet

$\text{es gibt }zG(A,B,z)$

die Aussage, dass es zu gegebenen festen $A$ und $B$ ein $z$ gibt derart, dass die drei Punkte $A,B,z$ ein gleichseitiges Dreieck bilden (diese Aussage ist in der reellen Zahlenebene wahr). In dem Beispielsatz wird nur über $z$ quantifiziert, nicht über $A$ und $B$. Dies kann man durch die folgenden Aussagen erreichen.

$\text{es gibt }x\text{ und es gibt }y\text{ und es gibt }zG(x,y,z),$

was bedeutet, dass es Punkte $x,y,z$ gibt, die ein gleichseitiges Dreieck bilden, die wahr ist, aber deutlich schwächer als die Aussage

$\text{ für alle }x\text{ und }\text{ für alle }y\text{ gibt es }zG(x,y,z)$

ist, die behauptet, dass es zu (beliebig vorgegebenen) Eckpunkten $x$ und $y$ stets einen dritten Punkt gibt, sodass ein gleichseitiges Dreieck entsteht. Die Ausdrücke „es gibt“ und „für alle“ nennt man Quantoren. Für diese Quantoren gibt es spezielle Symbole, nämlich $\mathrm{\exists }$ für „es gibt“ und $\mathrm{\forall }$ für „für alle“. Die obigen Beispielsätze schreibt man dann formal als

$\mathrm{\exists }x\mathrm{\exists }y\mathrm{\exists }zG(x,y,z)$

bzw. als

$\mathrm{\forall }x\mathrm{\forall }y\mathrm{\exists }zG(x,y,z).$

Auf die Reihenfolge bei gleichartigen Quantoren kommt es nicht an (dies ist von der inhaltlichen Bedeutung her klar, wird später aber auch formal im Ableitungskalkül nachgebildet), sie ist aber bei wechselnden Quantoren entscheidend. Beispielsweise ist die Aussage

$\mathrm{\exists }z\mathrm{\forall }x\mathrm{\forall }yG(x,y,z)$

(also die Aussage, dass es einen Punkt gibt, der mit je zwei beliebigen weiteren Punkten ein gleichseitiges Dreieck bildet) im Gegensatz zur vorherigen Aussage nicht wahr.

Fußnoten