Prädikatenlogik/Satz/Substitution/Aufgabe/Lösung

Für Sätze ${}\alpha \in L_{0}^{S}$ gibt es mi rekursiven Aufbau grundsätzlich zwei Möglichkeiten. Entweder sind sie von der Form ${}\forall x\beta$ oder ${}\exists x\beta$, wobei in ${}\alpha$ höchstens die Variable ${}x$ frei vorkommt, oder sie entstehen durch aussagenlogische Verknüpfungen aus Sätzen.

Im ersten Fall ergibt sich aus der Voraussetzung ${}\alpha =\forall x\beta \in L_{0}^{S}$, dass in ${}\alpha$ keine Variable frei vorkommt. Somit ist die relevante Variablenmenge und entsprechend die relevante Termmenge leer. Daher ist als „Hilfsvariable“

${}v=x\,$

zu wählen, und es ist

${}(\forall x\beta ){\frac {t_{1},\ldots ,t_{k}}{x_{1},\ldots ,x_{k}}}=\forall x(\beta {\frac {x}{x}})=\forall x\beta \,.$

Bei aussagenlogisch zusammengesetzten Sätzen ergibt sich die Behauptung unmittelbar.

Zur gelösten Aufgabe