Prädikatenlogik/Satz/Substitution/Aufgabe/Lösung

Für Sätze $\alpha \in L_0^S$ gibt es mi rekursiven Aufbau grundsätzlich zwei Möglichkeiten. Entweder sind sie von der Form $\mathrm{\forall }x\beta$ oder $\mathrm{\exists }x\beta$, wobei in $\alpha$ höchstens die Variable $x$ frei vorkommt, oder sie entstehen durch aussagenlogische Verknüpfungen aus Sätzen.

Im ersten Fall ergibt sich aus der Voraussetzung $\alpha =\mathrm{\forall }x\beta \in L_0^S$, dass in $\alpha$ keine Variable frei vorkommt. Somit ist die relevante Variablenmenge und entsprechend die relevante Termmenge leer. Daher ist als „Hilfsvariable“

$v=x$

zu wählen, und es ist

$(\mathrm{\forall }x\beta )\frac{t_1,\dots ,t_k}{x_1,\dots ,x_k}=\mathrm{\forall }x(\beta \frac{x}{x})=\mathrm{\forall }x\beta .$

Bei aussagenlogisch zusammengesetzten Sätzen ergibt sich die Behauptung unmittelbar.

Zur gelösten Aufgabe