Prädikatenlogik/Substitution/Hintereinander/Aufgabe/Lösung

Es sei $+$ ein zweistelliges Funktionssymbol und sei der Ausdruck $\alpha$ gleich $x_1=x_2$. Wir setzen

$t_1=t_2=x_1+x_2.$

Dann ist einerseits (wir schreiben $\equiv$ für die Gleichheit von Ausdrücken)

$\begin{array}{cc}\alpha \frac{t_1,t_2}{x_1,x_2}& \equiv (x_1=x_2)\frac{x_1+x_2,x_1+x_2}{x_1,x_2}\\ & \equiv x_1+x_2=x_1+x_2,\end{array}$

was allgemeingültig ist, und andererseits

$\begin{array}{cc}\left(\alpha \frac{t_1}{x_1}\right)\frac{t_2}{x_2}& \equiv ((x_1=x_2)\frac{x_1+x_2}{x_1})\frac{x_1+x_2}{x_2}\\ & \equiv (x_1+x_2=x_2)\frac{x_1+x_2}{x_2}\\ & =x_1+(x_1+x_2)=x_1+x_2,\end{array}$

was nicht allgemeingültig ist (beispielsweise bei Interpretation in $\mathbb{N}$).

Somit ist die Implikation nicht allgemeingültig.

Zur gelösten Aufgabe