Prädikatenlogik/Substitution/x durch x/Identität/Aufgabe/Lösung

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  1. Wir beweisen die Aussage durch Induktion über den Aufbau der Terme. Für Variablen ist bei direkt und ferner . Konstanten bleiben bei jeder Substitution unverändert. Für ein -stelliges Funktionssymbol und Terme ist

    nach Induktionsvoraussetzung.

  2. Wir beweisen die Aussage durch Induktion über den Aufbau der Sprache für alle Variablen gleichzeitig. Wenn eine Identität von Termen oder eine Relationsaussage ist, so ergibt sich die Behauptung unmittelbar aus Teil (1). Der Induktionsschritt für die aussagenlogischen Junktoren ergibt sich unmittelbar aus der Definition der Substitution. Bei mit kommt nicht im substituierenden Term vor, und daher ist und

    nach Induktionsvoraussetzung. Bei ist nicht frei in und somit ist die relevante Termmenge leer und , also

    nach Induktionsvoraussetzung.

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