Prädikatenlogische Formeln

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Die neuere englische Version Formulas in predicate logic enthält mehr Informationen.

Zweistellige Prädikate

Mit einem zweistelligen Prädikat lassen sich 10 verschiedene Formeln bilden. Diese unterscheiden sich in ihrem Sinn.
Allerdings gibt es nur 2*A083355(2) = 8 verschiedene Bedeutungen die diese Formeln haben können. (Vgl. Sinn und Bedeutung)
Man beachte, dass es in der Mathematik nicht um Sinn sondern um Bedeutung geht. Formeln mit gleicher Bedeutung sind austauschbar.

Als Beispiel sei $~Pxy$ das zweistellige Prädikat "x liebt y."

In den Matrizen der Relationen steht die nach unten zeigende Achse für die liebenden Individuen, die nach rechts zeigende für die geliebten.

Die 5×5-Beispielmatrizen veranschaulichen die Formeln für den Fall, dass fünf Individuen a,b,c,d,e als Liebende und Geliebte in Frage kommen.

Die Listen von 2×2- und 3×3-Matrizen dagegen sind nicht nur Beispiele, sondern zeigen für den Fall, dass zwei oder drei Individuen als Liebende und Geliebte in Frage kommen, genau die Bedeutung der Formeln: Von den 2⁴=16 oder 2⁹=512 denkbaren Fällen (wie zwei oder drei Personen sich lieben oder nicht lieben können) sind die Fälle rot markiert, für die Aussagen wie "Jemand liebt alle" wahr sind. (Die schwarzen Punkte stehen für Einsen.)

Je zwei dieser 16- oder 512-Bit-Strings sind Komplementspiegelungen; d.h. als 4- oder 9-stellige Junktoren aufgefasst sind sie zueinander dual.

1  2

Beispielsatz	Formel	Beispielmatrix	Beschreibung	Liste 2×2	Liste 3×3
Einer liebt einen.	$\exists x~\exists y~Pxy$ ∃1 ∃2		12ne Matrix ist nicht leer.
Jeder liebt jemanden.	$\forall x~\exists y~Pxy$ ∀1 ∃2		∀2ne Keine Zeile ist leer.
Jemand liebt alle.	$\exists x~\forall y~Pxy$ ∃1 ∀2		∃2f Eine Zeile ist voll.
Jeder liebt jeden.	$\forall x~\forall y~Pxy$ ∀1 ∀2		12f Matrix ist voll.

2  1

Beispielsatz	Formel	Beispielmatrix	Beschreibung	Liste 2×2	Liste 3×3
Einer wird von einem geliebt.	$\exists x~\exists y~Pyx$ ∃2 ∃1		12ne Matrix ist nicht leer.
Jeder wird von jemandem geliebt.	$\forall x~\exists y~Pyx$ ∀2 ∃1		∀1ne Keine Spalte ist leer.
Jemand wird von allen geliebt.	$\exists x~\forall y~Pyx$ ∃2 ∀1		∃1f Eine Spalte ist voll.
Jeder wird von jedem geliebt.	$\forall x~\forall y~Pyx$ ∀2 ∀1		12f Matrix ist voll.

1=2

Beispielsatz	Formel	Beispielmatrix	Beschreibung	Liste 2×2	Liste 3×3
Jemand liebt sich selbst.	$\exists x~Pxx$ ∃12		12diag ne Diagonale ist nicht leer.
Alle lieben sich selbst.	$\forall x~Pxx$ ∀12		12diag f Diagonale ist voll.

Zwischen einigen prädikatenlogischen Aussagen bestehen Folgerungsbeziehungen:

Das linke Hasse-Diagramm mag kontraintuitiv wirken, da es unten "voller" zu sein scheint als oben.
Das liegt daran, dass die Matrizen nur beispielhafte Skizzen sind,
und nicht die mathematischen Objekte, zwischen denen die Halbordnungsbeziehung besteht.
In den beiden rechten Hasse-Diagrammen sieht man, dass folgende Beziehung gilt:
Aus einer prädikatenlogischen Aussage A folgt die prädikatenlogische Aussage B
g.d.w. die Menge aller Fälle in denen A wahr ist Teil der Menge aller Fälle ist, in denen B wahr ist.

Dreistellige Prädikate

Mit einem dreistelligen Prädikat lassen sich 74 verschiedene Formeln bilden. Diese unterscheiden sich in ihrem Sinn.
Allerdings gibt es nur 2*A083355(3) = 46 verschiedene Bedeutungen die diese Formeln haben können.
Diese Bedeutungen sind hier durch 46 verschiedene Skizzen dreidimensionaler "logischer Tensoren" veranschaulicht,
die den Skizzen logischer Matrizen in diesem Hasse-Diagramm entsprechen.

Als Beispiel sei $~Pxyz$ das dreistellige Prädikat "x wünscht sich, dass y z liebt."

In den Tensorskizzen (Würfeln) steht die nach unten zeigende Achse (1) für die wünschenden Individuen,
die nach rechts zeigende (2) für die liebenden, und die nach hinten zeigende (3) für die geliebten.
Die Achsen sind mit Zahlen bezeichnet, weil Buchstaben in der Prädikatenlogik
bereits für Variablen (x,y,z) und Individuen (a,b,c...) verwendet werden.

Rechts von den Matrizen stehen abgekürzte Beschreibungen der Matrizen. In diesen steht f für full und ne für non empty.
12 steht für eine Scheibe in Richtung der Achsen 1 und 2 und 12diag für eine Flächendiagonale zwischen diesen Achsen, etc.

Unter den Formeln stehen graue Abkürzungen dieser Formeln, die hilfreich sein können, sich in der Matrix zurechtzufinden. Dabei ist die Permutation der Zahlen die Inverse der Permutation der Variablen hinter dem P.

Beispiele zu den Abkürzungen:

∀13ne   Alle 1-3-Ebenen sind nicht leer. ∀x ∃y ∃z Pyxz     ∀2 ∃1 ∃3     Zu allen 2en gibt es je eine 1 und zu denen je eine 3. ∀x ∃y ∃z Pzxy     ∀2 ∃3 ∃1     Zu allen 2en gibt es je eine 3 und zu denen je eine 1.

∃13f   Eine 1-3-Ebene ist voll. ∃x ∀y ∀z Pyxz     ∃2 ∀1 ∀3     Zu einer 2 gibt es alle 1en und zu denen alle 3en. ∃x ∀y ∀z Pzxy     ∃2 ∀3 ∀1     Zu einer 2 gibt es alle 3en und zu denen alle 1en.

in∀23 ∃2f   In allen 2-3-Ebenen ist eine 2-Gerade voll. ∀x ∃y ∀z Pxzy     ∀1 ∃3 ∀2     Zu allen 1en gibt es je eine 3 und zu denen alle 2en.

in12diag ∀3ne   In der 1-2-Diagonale sind alle 3-Geraden nicht leer. ∀x ∃y Pxxy     ∀12 ∃3     Zu allen 1-2 gibt es eine 3.

Hasse-Diagramm der Implikationen (ohne Diagonalen)

Abkürzungen der logischen Tensoren

Tabellen:

Drei verschiedene Variablen	Zwei verschiedene Variablen (Flächendiagonalen)	Nur eine Variable (Raumdiagonale)
Pxyz (1 2 3) Pxzy (1 3 2) Pyxz (2 1 3) Pzxy (2 3 1) Pyzx (3 1 2) Pzyx (3 2 1) Auf einen Blick	Pxxy (12 3) Pyyx (3 12) Pxyx (13 2) Pyxy (2 13) Pyxx (23 1) Pxyy (1 23) Auf einen Blick	Pxxx (123)

(Lexikographisch geordnet nach den Permutationen der grauen Abkürzungen, nicht der Variablen.)

1  2  3

Beispielsatz	Formel	Matrix	Beschreibung
Jemand wünscht jemandem jemanden zu lieben.	$\exists x~\exists y~\exists z~Pxyz$ ∃1 ∃2 ∃3		123ne
Alle wünschen jemandem jemanden zu lieben.	$\forall x~\exists y~\exists z~Pxyz$ ∀1 ∃2 ∃3		∀23ne
Jemand wünscht allen jemanden zu lieben.	$\exists x~\forall y~\exists z~Pxyz$ ∃1 ∀2 ∃3		in∃23 ∀3ne
Jemand wünscht jemandem alle zu lieben.	$\exists x~\exists y~\forall z~Pxyz$ ∃1 ∃2 ∀3		∃3f
Alle wünschen allen jemanden zu lieben.	$\forall x~\forall y~\exists z~Pxyz$ ∀1 ∀2 ∃3		∀3ne
Alle wünschen jemandem alle zu lieben.	$\forall x~\exists y~\forall z~Pxyz$ ∀1 ∃2 ∀3		in∀23 ∃3f
Jemand wünscht allen alle zu lieben.	$\exists x~\forall y~\forall z~Pxyz$ ∃1 ∀2 ∀3		∃23f
Alle wünschen allen alle zu lieben.	$\forall x~\forall y~\forall z~Pxyz$ ∀1 ∀2 ∀3		123f

1  3  2

Beispielsatz	Formel	Matrix	Beschreibung
Jemand wünscht jemandem von jemandem geliebt zu werden.	$\exists x~\exists y~\exists z~Pxzy$ ∃1 ∃3 ∃2		123ne
Alle wünschen jemandem von jemandem geliebt zu werden.	$\forall x~\exists y~\exists z~Pxzy$ ∀1 ∃3 ∃2		∀23ne
Jemand wünscht allen von jemandem geliebt zu werden.	$\exists x~\forall y~\exists z~Pxzy$ ∃1 ∀3 ∃2		in∃23 ∀2ne
Jemand wünscht jemandem von allen geliebt zu werden.	$\exists x~\exists y~\forall z~Pxzy$ ∃1 ∃3 ∀2		∃2f
Alle wünschen allen von jemandem geliebt zu werden.	$\forall x~\forall y~\exists z~Pxzy$ ∀1 ∀3 ∃2		∀2ne
Alle wünschen jemandem von allen geliebt zu werden.	$\forall x~\exists y~\forall z~Pxzy$ ∀1 ∃3 ∀2		in∀23 ∃2f
Jemand wünscht allen von allen geliebt zu werden.	$\exists x~\forall y~\forall z~Pxzy$ ∃1 ∀3 ∀2		∃23f
Alle wünschen allen von allen geliebt zu werden.	$\forall x~\forall y~\forall z~Pxzy$ ∀1 ∀3 ∀2		123f

2  1  3

Beispielsatz	Formel	Matrix	Beschreibung
Jemandem wird von jemandem gewünscht jemanden zu lieben.	$\exists x~\exists y~\exists z~Pyxz$ ∃2 ∃1 ∃3		123ne
Allen wird von jemandem gewünscht jemanden zu lieben.	$\forall x~\exists y~\exists z~Pyxz$ ∀2 ∃1 ∃3		∀13ne
Jemandem wird von allen gewünscht jemanden zu lieben.	$\exists x~\forall y~\exists z~Pyxz$ ∃2 ∀1 ∃3		in∃13 ∀3ne
Jemandem wird von jemandem gewünscht alle zu lieben.	$\exists x~\exists y~\forall z~Pyxz$ ∃2 ∃1 ∀3		∃3f
Allen wird von allen gewünscht jemanden zu lieben.	$\forall x~\forall y~\exists z~Pyxz$ ∀2 ∀1 ∃3		∀3ne
Allen wird von jemandem gewünscht alle zu lieben.	$\forall x~\exists y~\forall z~Pyxz$ ∀2 ∃1 ∀3		in∀13 ∃3f
Jemandem wird von allen gewünscht alle zu lieben.	$\exists x~\forall y~\forall z~Pyxz$ ∃2 ∀1 ∀3		∃13f
Allen wird von allen gewünscht alle zu lieben.	$\forall x~\forall y~\forall z~Pyxz$ ∀2 ∀1 ∀3		123f

2  3  1

Beispielsatz	Formel	Matrix	Beschreibung
Jemandem wird jemanden zu lieben von jemandem gewünscht.	$\exists x~\exists y~\exists z~Pzxy$ ∃2 ∃3 ∃1		123ne
Allen wird jemanden zu lieben von jemandem gewünscht.	$\forall x~\exists y~\exists z~Pzxy$ ∀2 ∃3 ∃1		∀13ne
Jemandem wird alle zu lieben von jemandem gewünscht.	$\exists x~\forall y~\exists z~Pzxy$ ∃2 ∀3 ∃1		in∃13 ∀1ne
Jemandem wird jemanden zu lieben von allen gewünscht.	$\exists x~\exists y~\forall z~Pzxy$ ∃2 ∃3 ∀1		∃1f
Allen wird alle zu lieben von jemandem gewünscht.	$\forall x~\forall y~\exists z~Pzxy$ ∀2 ∀3 ∃1		∀1ne
Allen wird jemanden zu lieben von allen gewünscht.	$\forall x~\exists y~\forall z~Pzxy$ ∀2 ∃3 ∀1		in∀13 ∃1f
Jemandem wird alle zu lieben von allen gewünscht.	$\exists x~\forall y~\forall z~Pzxy$ ∃2 ∀3 ∀1		∃13f
Allen wird alle zu lieben von allen gewünscht.	$\forall x~\forall y~\forall z~Pzxy$ ∀2 ∀3 ∀1		123f

3  1  2

Beispielsatz	Formel	Matrix	Beschreibung
Jemandem wird von jemandem gewünscht von jemandem geliebt zu werden.	$\exists x~\exists y~\exists z~Pyzx$ ∃3 ∃1 ∃2		123ne
Allen wird von jemandem gewünscht von jemandem geliebt zu werden.	$\forall x~\exists y~\exists z~Pyzx$ ∀3 ∃1 ∃2		∀12ne
Jemandem wird von allen gewünscht von jemandem geliebt zu werden.	$\exists x~\forall y~\exists z~Pyzx$ ∃3 ∀1 ∃2		in∃12 ∀2ne
Jemandem wird von jemandem gewünscht von allen geliebt zu werden.	$\exists x~\exists y~\forall z~Pyzx$ ∃3 ∃1 ∀2		∃2f
Allen wird von allen gewünscht von jemandem geliebt zu werden.	$\forall x~\forall y~\exists z~Pyzx$ ∀3 ∀1 ∃2		∀2ne
Allen wird von jemandem gewünscht von allen geliebt zu werden.	$\forall x~\exists y~\forall z~Pyzx$ ∀3 ∃1 ∀2		in∀12 ∃2f
Jemandem wird von allen gewünscht von allen geliebt zu werden.	$\exists x~\forall y~\forall z~Pyzx$ ∃3 ∀1 ∀2		∃12f
Allen wird von allen gewünscht von allen geliebt zu werden.	$\forall x~\forall y~\forall z~Pyzx$ ∀3 ∀1 ∀2		123f

3  2  1

Beispielsatz	Formel	Matrix	Beschreibung
Jemandem wird von jemandem geliebt zu werden von jemandem gewünscht.	$\exists x~\exists y~\exists z~Pzyx$ ∃3 ∃2 ∃1		123ne
Allen wird von jemandem geliebt zu werden von jemandem gewünscht.	$\forall x~\exists y~\exists z~Pzyx$ ∀3 ∃2 ∃1		∀12ne
Jemandem wird von allen geliebt zu werden von jemandem gewünscht.	$\exists x~\forall y~\exists z~Pzyx$ ∃3 ∀2 ∃1		in∃12 ∀1ne
Jemandem wird von jemandem geliebt zu werden von allen gewünscht.	$\exists x~\exists y~\forall z~Pzyx$ ∃3 ∃2 ∀1		∃1f
Allen wird von allen geliebt zu werden von jemandem gewünscht.	$\forall x~\forall y~\exists z~Pzyx$ ∀3 ∀2 ∃1		∀1ne
Allen wird von jemandem geliebt zu werden von allen gewünscht.	$\forall x~\exists y~\forall z~Pzyx$ ∀3 ∃2 ∀1		in∀12 ∃1f
Jemandem wird von allen geliebt zu werden von allen gewünscht.	$\exists x~\forall y~\forall z~Pzyx$ ∃3 ∀2 ∀1		∃12f
Allen wird von allen geliebt zu werden von allen gewünscht.	$\forall x~\forall y~\forall z~Pzyx$ ∀3 ∀2 ∀1		123f

Nochmal das Hasse-Diagramm
Man sieht, dass seine „Etagen“ denen der Tabelle entsprechen.

Auf einen Blick
Die zur Formel gehörigen Beispielsätze erscheinen, wenn man die Maus auf die Matrix hält.

	$Pxyz~$ 1 2 3	$Pxzy~$ 1 3 2	$Pyxz~$ 2 1 3	$Pzxy~$ 2 3 1	$Pyzx~$ 3 1 2	$Pzyx~$ 3 2 1
$\exists x~\exists y~\exists z$
$\forall x~\exists y~\exists z$
$\exists x~\forall y~\exists z$
$\exists x~\exists y~\forall z$
$\forall x~\forall y~\exists z$
$\forall x~\exists y~\forall z$
$\exists x~\forall y~\forall z$
$\forall x~\forall y~\forall z$

1=2  3

Beispielsatz	Formel	Matrix	Beschreibung
Jemand wünscht sich jemanden zu lieben.	$\exists x~\exists y~Pxxy$ ∃12 ∃3		12diag ne
Alle wünschen sich jemanden zu lieben.	$\forall x~\exists y~Pxxy$ ∀12 ∃3		in12diag ∀3ne
Jemand wünscht sich alle zu lieben.	$\exists x~\forall y~Pxxy$ ∃12 ∀3		in12diag ∃3f
Alle wünschen sich alle zu lieben.	$\forall x~\forall y~Pxxy$ ∀12 ∀3		12diag f

3  1=2

Beispielsatz	Formel	Matrix	Beschreibung
Jemanden will jemand lieben.	$\exists x~\exists y~Pyyx$ ∃3 ∃12		12diag ne
Jeden will jemand lieben. (Zu jedem x gibt es ein y das x lieben will.)	$\forall x~\exists y~Pyyx$ ∀3 ∃12		in12diag ∀12ne
Jemanden will jeder lieben. (Es gibt ein x das alle y lieben wollen.)	$\exists x~\forall y~Pyyx$ ∃3 ∀12		in12diag ∃12f
Jeden will jeder lieben.	$\forall x~\forall y~Pyyx$ ∀3 ∀12		12diag f

1=3  2

Beispielsatz	Formel	Matrix	Beschreibung
Jemand wünscht sich von jemandem geliebt zu werden.	$\exists x~\exists y~Pxyx$ ∃13 ∃2		13diag ne
Alle wünschen sich von jemandem geliebt zu werden.	$\forall x~\exists y~Pxyx$ ∀13 ∃2		in13diag ∀2ne
Jemand wünscht sich von allen geliebt zu werden.	$\exists x~\forall y~Pxyx$ ∃13 ∀2		in13diag ∃2f
Alle wünschen sich von allen geliebt zu werden.	$\forall x~\forall y~Pxyx$ ∀13 ∀2		13diag f

2  1=3

Beispielsatz	Formel	Matrix	Beschreibung
Von jemandem will jemand geliebt werden.	$\exists x~\exists y~Pyxy$ ∃2 ∃13		13diag ne
Von allen will jemand geliebt werden. (Zu jedem x gibt es ein y das von x geliebt werden will.)	$\forall x~\exists y~Pyxy$ ∀2 ∃13		in13diag ∀13ne
Von jemandem wollen alle geliebt werden. (Es gibt ein x von dem alle y geliebt werden wollen.)	$\exists x~\forall y~Pyxy$ ∃2 ∀13		in13diag ∃13f
Von allen wollen alle geliebt werden.	$\forall x~\forall y~Pyxy$ ∀2 ∀13		13diag f

2=3  1

Beispielsatz	Formel	Matrix	Beschreibung
Jemandem wird von jemandem gewünscht sich zu lieben.	$\exists x~\exists y~Pyxx$ ∃23 ∃1		23diag ne
Allen wird von jemandem gewünscht sich zu lieben.	$\forall x~\exists y~Pyxx$ ∀23 ∃1		in23diag ∀1ne
Jemandem wird von allen gewünscht sich zu lieben.	$\exists x~\forall y~Pyxx$ ∃23 ∀1		in23diag ∃1f
Allen wird von allen gewünscht sich zu lieben.	$\forall x~\forall y~Pyxx$ ∀23 ∀1		23diag f

1  2=3

Beispielsatz	Formel	Matrix	Beschreibung
Jemand wünscht jemandem sich zu lieben.	$\exists x~\exists y~Pxyy$ ∃1 ∃23		23diag ne
Alle wünschen jemandem sich zu lieben.	$\forall x~\exists y~Pxyy$ ∀1 ∃23		in23diag ∀23ne
Jemand wünscht allen sich zu lieben.	$\exists x~\forall y~Pxyy$ ∃1 ∀23		in23diag ∃23f
Alle wünschen allen sich zu lieben.	$\forall x~\forall y~Pxyy$ ∀1 ∀23		23diag f

Auf einen Blick
Die zur Formel gehörigen Beispielsätze erscheinen, wenn man die Maus auf die Matrix hält.

	$Pxxy~$ 12 3	$Pyyx~$ 3 12	$Pxyx~$ 13 2	$Pyxy~$ 2 13	$Pyxx~$ 23 1	$Pxyy~$ 1 23
$\exists x~\exists y$
$\forall x~\exists y$
$\exists x~\forall y$
$\forall x~\forall y$

1=2=3

Beispielsatz	Formel	Matrix	Beschreibung
Jemand will sich lieben.	$\exists x~Pxxx$ ∃123		123diag ne
Alle wollen sich lieben.	$\forall x~Pxxx$ ∀123		123diag f