Beweis
(1). Sei
-

Offensichtlich gehört
zu
und dieses System ist abgeschlossen unter
Komplementbildung.
Bevor wir zeigen können, dass
unter abzählbaren Vereinigungen abgeschlossen ist, zeigen wir, dass dies für endliche Vereinigungen gilt. Es seien also
und
aus
und sei
eine beliebige Teilmenge. Dann ist
Damit ist
auch unter endlichen Vereinigungen abgeschlossen und somit liegt insgesamt eine
Mengen-Algebra
vor.
Es sei nun
,
,
eine abzählbare Familie aus
. Wir wissen, dass die Teilmengen
zu
gehören. Deren Vereinigung ist gleich der Vereinigung der
, sodass wir annehmen können, dass die
paarweise disjunkt sind. Wegen der Disjunktheit ergibt sich induktiv für eine beliebige Teilmenge

Daraus ergibt sich unter Verwendung der Zerlegungseigenschaft von
und der Monotonie des äußeren Maßes die Abschätzung

Da dies für alle
gilt, und da ein äußeres Maß vorliegt, folgt

Da die umgekehrte Abschätzung sowieso gilt, haben wir die gewünschte Gleichheit.
(2). Für paarweise disjunkte Mengen
,
,
aus
ist, wie unter (1) bewiesen,
-

Da dies für alle
gilt, folgt
-

Da auch die umgekehrte Abschätzung gilt, liegt Gleichheit vor.