Präring/Äußeres Maß/Fortsetzung/Zerlegungseigenschaft/Eigenschaften/Fakt/Beweis

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Beweis

(1). Sei

Offensichtlich gehört zu und dieses System ist abgeschlossen unter Komplementbildung.   Bevor wir zeigen können, dass unter abzählbaren Vereinigungen abgeschlossen ist, zeigen wir, dass dies für endliche Vereinigungen gilt. Seien also und aus und sei eine beliebige Teilmenge. Dann ist

  

Damit ist auch unter endlichen Vereinigungen abgeschlossen und somit liegt insgesamt eine Mengen-Algebra vor.
Sei nun , , eine abzählbare Familie aus . Wir wissen, dass die Teilmengen zu gehören. Deren Vereinigung ist gleich der Vereinigung der , so dass wir annehmen können, dass die paarweise disjunkt sind. Wegen der Disjunktheit ergibt sich induktiv für eine beliebige Teilmenge

Daraus ergibt sich unter Verwendung der Zerlegungseigenschaft von und der Monotonie des äußeren Maßes die Abschätzung

Da dies für alle gilt, und da ein äußeres Maß vorliegt, folgt

Da die umgekehrte Abschätzung sowieso gilt, haben wir die gewünschte Gleichheit.
(2). Für paarweise disjunkte Mengen , , aus ist, wie unter (1) bewiesen,

Da dies für alle gilt, folgt

Da auch die umgekehrte Abschätzung gilt, liegt Gleichheit vor.