Beweis
(1). Sei
-
Offensichtlich gehört zu und dieses System ist abgeschlossen unter
Komplementbildung.
Bevor wir zeigen können, dass unter abzählbaren Vereinigungen abgeschlossen ist, zeigen wir, dass dies für endliche Vereinigungen gilt. Es seien also
und
aus und sei
eine beliebige Teilmenge. Dann ist
-
Damit ist auch unter endlichen Vereinigungen abgeschlossen und somit liegt insgesamt eine
Mengen-Algebra
vor.
Es sei nun
, ,
eine abzählbare Familie aus . Wir wissen, dass die Teilmengen zu gehören. Deren Vereinigung ist gleich der Vereinigung der , sodass wir annehmen können, dass die paarweise disjunkt sind. Wegen der Disjunktheit ergibt sich induktiv für eine beliebige Teilmenge
Daraus ergibt sich unter Verwendung der Zerlegungseigenschaft von und der Monotonie des äußeren Maßes die Abschätzung
Da dies für alle gilt, und da ein äußeres Maß vorliegt, folgt
Da die umgekehrte Abschätzung sowieso gilt, haben wir die gewünschte Gleichheit.
(2). Für paarweise disjunkte Mengen
, ,
aus ist, wie unter (1) bewiesen,
-
Da dies für alle gilt, folgt
-
Da auch die umgekehrte Abschätzung gilt, liegt Gleichheit vor.