Primfaktorzerlegung/3 Wurzel 9/Irrational/Aufgabe/Lösung

Nehmen wir an, dass es eine Darstellung

$9^{1/3}={\frac {a}{b}}$

mit positiven natürlichen Zahlen ${}a,b$ gibt. Wenn ${}a$ und ${}b$ einen gemeinsamen Teiler ${}\geq 2$ hat, so können wir mit diesem kürzen und erhalten dann eine Bruchdarstellung mit teilerfremden Zähler und Nenner. Es seien also ${}a$ und ${}b$ teilerfremd. Wir nehmen die dritte Potenz der Anfangsgleichung und erhalten

$9={\frac {a^{3}}{b^{3}}}$

bzw.

$3^{2}b^{3}=a^{3}.$

Diese Zahl hat eine eindeutige Primfaktorzerlegung. In ihr kommt ${}3$ vor, sodass ${}3{|}a^{3}$ und daher ${}3{|}a$ ist, da ${}3$ eine Primzahl ist. Also kommt rechterseits ${}3$ mit einem Exponenten ${}\geq 3$ in der Primfaktorzerlegung vor, linkerseits aber nur mit dem Exponenten ${}2$, da ${}b$ kein Vielfaches von ${}3$ ist. Dies ist ein Widerspruch.

Zur gelösten Aufgabe