Primideal/Vermeidung/Fakt/Beweis

Beweis

Wir führen Induktion über ${}n$. Bei  ${}n=1$  ist die Aussage trivial. Es sei die Aussage für ${}n$ Primideale bewiesen, und seien ${}n+1$ Primideale gegeben. Für jedes ${}i$ können wir annehmen, dass  ${}{\mathfrak {a}}\not \subseteq \bigcup _{j\neq i}{\mathfrak {p}}_{j}$  ist, da andernfalls die Aussage nach Induktionsvoraussetzung bewiesen ist. Demnach gibt es jeweils ein  ${}f_{i}\in {\mathfrak {a}}$  mit  ${}f_{i}\notin \bigcup _{j\neq i}{\mathfrak {p}}_{j}$.  Dann muss insbesondere  ${}f_{i}\in {\mathfrak {p}}_{i}$  sein. Das Element ${}f_{1}+f_{2}f_{3}\cdots f_{n+1}$ gehört zu ${}{\mathfrak {a}}$ und damit ist auch  ${}f_{1}+f_{2}f_{3}\cdots f_{n+1}\in {\mathfrak {p}}_{i}$  für ein ${}i$. Dies ist aber sowohl bei  ${}i=1$  als auch bei  ${}i\geq 2$  ein Widerspruch.

Zur bewiesenen Aussage