Primzahl/Nicht 2,5/Teilt 1...1/Aufgabe/Kommentar

Wir bezeichen mit ${}a_{n}$ die Zahl 11...1, die aus ${}n$ Einsen besteht. Sei ${}r_{n}$ der Rest von ${}a_{n}$ bei Division durch ${}p$. Die Schwierigkeit dieser Aufgabe liegt darin, dass ${}p$ unbekannt ist und somit kann man ${}r_{n}$ nicht berechnen. Hier ist die Schlüsselidee: man kann ${}r_{n}$ nicht berechnen, aber man weiß sicher, dass ${}r_{n}\in \{0,1,\dots ,p-1\}$. Also ist die Menge ${}\{r_{n}\mid n\in \mathbb {N} \}$ endlich. Somit existieren ${}k,m\in \mathbb {N}$ mit ${}k<m$, sodass ${}r_{k}=r_{m}$ (siehe auch Fakt.)

Dies bedeutet, dass ${}a_{m}-a_{k}$ ein Vielfaches von ${}p$ ist. Was ist nun ${}a_{m}-a_{k}$? Wo verwendet man hier die Voraussetzung, dass ${}p\neq 2,5$ eine Primzahl ist?

Zur kommentierten Aufgabe