Primzahl/Nicht 2,5/Teilt 1...1/Aufgabe/Kommentar

Wir bezeichen mit $a_{n}$ die Zahl 11...1, die aus $n$ Einsen besteht. Sei $r_{n}$ der Rest von $a_{n}$ bei Division durch $p$ . Die Schwierigkeit dieser Aufgabe liegt darin, dass $p$ unbekannt ist und somit kann man $r_{n}$ nicht berechnen. Hier ist die Schlüsselidee: man kann $r_{n}$ nicht berechnen, aber man weiß sicher, dass $r_{n} \in {0, 1, \dots, p - 1}$ . Also ist die Menge ${r_{n} ∣ n \in ℕ}$ endlich. Somit existieren $k, m \in ℕ$ mit $k < m$ , sodass $r_{k} = r_{m}$ (siehe auch Fakt.)

Dies bedeutet, dass

a_{m} - a_{k}

ein Vielfaches von

p

ist. Was ist nun

a_{m} - a_{k}

? Wo verwendet man hier die Voraussetzung, dass

p \neq 2, 5

eine Primzahl ist?

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