Primzahlen/Mersennesche Primzahlen/Exponent ist prim/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei eine Darstellung  ${}n=ab$  mit natürlichen Zahlen ${}a,b$ gegeben. Wir setzen in der polynomialen Identität

${}X^{k}-1=(X-1)(X^{k-1}+X^{k-2}+\cdots +X+1)\,$

 ${}X=2^{a}$  und  ${}k=b$  ein und erhalten, dass ${}2^{a}-1{|}2^{n}-1$. Da ${}2^{n}-1$ als prim vorausgesetzt wurde, folgt  ${}2^{a}-1=1$  oder  ${}2^{a}-1=2^{n}-1$,  also  ${}a=1$  oder  ${}a=n$. 

Zur bewiesenen Aussage