Primzahlen/Mersennesche Primzahlen/Exponent ist prim/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei eine Darstellung ${}n=ab$ mit natürlichen Zahlen ${}a,b$ gegeben. Wir setzen in der polynomialen Identität

${}X^{k}-1=(X-1)(X^{k-1}+X^{k-2}+\cdots +X+1)\,$

${}X=2^{a}$ und ${}k=b$ ein und erhalten, dass ${}2^{a}-1{|}2^{n}-1$. Da ${}2^{n}-1$ als prim vorausgesetzt wurde, folgt ${}2^{a}-1=1$ oder ${}2^{a}-1=2^{n}-1$, also ${}a=1$ oder ${}a=n$.

Zur bewiesenen Aussage