Primzahlen/Produkt/Vielfache/Vollständig unabhängig/Aufgabe/Lösung

Sei  $I\subseteq \{1,\dots ,k\}$.  Das Ereignis $\bigcap _{i\in I}{E}_i$ besteht aus allen Zahlen aus $M$, die gemeinsame Vielfache von den Primzahlen $p_i$, $i\in I$ sind. Da die Primzahlen zueinander teilerfremd sind, geht es um die Zahlen aus $M$, die Vielfache vom Produkt $\prod _{i\in I}{p}_i$ sind. Dies sind die Zahlen

$\{\prod _{i\in I}{p}_i\cdot \ell \mid \ell =1,2,\dots ,\prod _{j\notin I}{p}_j\},$

da ja

$\prod _{i\in I}{p}_i\cdot \prod _{j\notin I}{p}_j=\prod _{i=1}^k{p}_i=n$

das Maximum aus $M$ ergibt. Die Menge $\bigcap _{i\in I}{E}_i$ besteht also aus $\prod _{j\notin I}{p}_j$ Elementen und somit beträgt ihre Wahrscheinlichkeit

$P\left(\bigcap _{i\in I}{E}_i\right)=\frac{\prod _{j\notin I}{p}_j}{n}=\frac{\prod _{j\notin I}{p}_j}{\prod _{i\in I}{p}_i\cdot \prod _{j\notin I}{p}_j}=\frac{1}{\prod _{i\in I}{p}_i}=\prod _{i\in I}\frac{1}{p_i}.$

Da das Argument insbesondere für einelementige Mengen $I$ gilt, ist

$P(E_i)=\frac{1}{p_i}$

und somit ist

$P\left(\bigcap _{i\in I}{E}_i\right)=\prod _{i\in I}P(E_i),$

was die vollständige Unabhängigkeit bedeutet.

Zur gelösten Aufgabe