Primzahlverteilung/Divergenz der Primzahlkehrwerte/Fakt/Beweis

Aus Wikiversity
Zur Navigation springen Zur Suche springen
Beweis

Das Produkt divergiert für aufgrund von Fakt und ist insbesondere unbeschränkt. Daher ist auch der natürliche Logarithmus davon unbeschränkt. Dieser ist

Die Potenzreihenentwicklung des natürlichen Logarithmus ist

für . Angewendet auf die vorstehende Situation ergibt das

Für die hinteren Summanden hat man die Abschätzungen

wobei hinten wieder die geometrische Reihe benutzt wurde. Damit ist insgesamt

Da die Summe der reziproken Quadrate konvergiert, ist diese Gesamtsumme beschränkt. Daher ist die Summe unbeschränkt, was die Behauptung ist.

Zur bewiesenen Aussage