Primzahlverteilung/Divergenz der Primzahlkehrwerte/Fakt/Beweis

Beweis

Das Produkt $\prod _{i=1}^k\frac{1}{1-p_i^{-1}}$ divergiert für $k\to \mathrm{\infty }$ aufgrund von Fakt und ist insbesondere unbeschränkt. Daher ist auch der natürliche Logarithmus davon unbeschränkt. Dieser ist

$\ln \left(\prod _{i=1}^k\frac{1}{1-p_i^{-1}}\right)=\sum _{i=1}^k\ln \left(\frac{1}{1-p_i^{-1}}\right)=-\sum _{i=1}^k\ln (1-p_i^{-1}).$

Die Potenzreihenentwicklung des natürlichen Logarithmus ist

$\ln (1-x)=-\sum _{j=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^j}{j}$

für  $|x|<1$.  Angewendet auf den vorstehenden Ausdruck ergibt das

$\sum _{i=1}^k\left(\sum _{j=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(p_i^{-1}{)}^j}{j}\right)=\sum _{i=1}^k\frac{1}{p_i}+\sum _{i=1}^k\left(\sum _{j=2}^{\mathrm{\infty }}\frac{(p_i^{-1}{)}^j}{j}\right).$

Für die hinteren Summanden hat man die Abschätzungen

$\sum _{j=2}^{\mathrm{\infty }}\frac{(p_i^{-1}{)}^j}{j}\le \sum _{j=2}^{\mathrm{\infty }}{\left(\frac{1}{p_i}\right)}^j={\left(\frac{1}{p_i}\right)}^2\left(\sum _{j=0}^{\mathrm{\infty }}{\left(\frac{1}{p_i}\right)}^j\right)={\left(\frac{1}{p_i}\right)}^2\frac{1}{1-p_i^{-1}}\le \frac{2}{p_i^2},$

wobei hinten die geometrische Reihe benutzt wurde. Damit ist insgesamt

$\sum _{i=1}^k\left(\sum _{j=2}^{\mathrm{\infty }}\frac{(p_i^{-1}{)}^j}{j}\right)\le \sum _{i=1}^k\frac{2}{p_i^2}\le 2\sum _{n\in {\mathbb{N}}_{+}}\frac{1}{n^2}.$

Da die Summe der reziproken Quadrate nach Beispiel konvergiert, ist diese Gesamtsumme beschränkt. Daher ist die Summe $\sum _{i=1}^k\frac{1}{p_i}$ unbeschränkt, was die Behauptung ist.

Zur bewiesenen Aussage