Primzahlverteilung/Divergenz der Primzahlkehrwerte/Fakt/Beweis

Beweis

Das Produkt ${}\prod _{i=1}^{k}{\frac {1}{1-p_{i}^{-1}}}$ divergiert für ${}k\rightarrow \infty$ aufgrund von Fakt und ist insbesondere unbeschränkt. Daher ist auch der natürliche Logarithmus davon unbeschränkt. Dieser ist

${}\ln {\left(\prod _{i=1}^{k}{\frac {1}{1-p_{i}^{-1}}}\right)}=\sum _{i=1}^{k}\ln {\left({\frac {1}{1-p_{i}^{-1}}}\right)}=-\sum _{i=1}^{k}\ln {\left(1-p_{i}^{-1}\right)}\,.$

Die Potenzreihenentwicklung des natürlichen Logarithmus ist

${}\ln(1-x)=-\sum _{j=1}^{\infty }{\frac {x^{j}}{j}}\,$

für  ${}\vert {x}\vert <1$.  Angewendet auf den vorstehenden Ausdruck ergibt das

${}\sum _{i=1}^{k}{\left(\sum _{j=1}^{\infty }{\frac {(p_{i}^{-1})^{j}}{j}}\right)}=\sum _{i=1}^{k}{\frac {1}{p_{i}}}+\sum _{i=1}^{k}\left(\sum _{j=2}^{\infty }{\frac {(p_{i}^{-1})^{j}}{j}}\right)\,.$

Für die hinteren Summanden hat man die Abschätzungen

${}\sum _{j=2}^{\infty }{\frac {(p_{i}^{-1})^{j}}{j}}\leq \sum _{j=2}^{\infty }{\left({\frac {1}{p_{i}}}\right)}^{j}={\left({\frac {1}{p_{i}}}\right)}^{2}{\left(\sum _{j=0}^{\infty }{\left({\frac {1}{p_{i}}}\right)}^{j}\right)}={\left({\frac {1}{p_{i}}}\right)}^{2}{\frac {1}{1-p_{i}^{-1}}}\leq {\frac {2}{p_{i}^{2}}}\,,$

wobei hinten die geometrische Reihe benutzt wurde. Damit ist insgesamt

${}\sum _{i=1}^{k}\left(\sum _{j=2}^{\infty }{\frac {(p_{i}^{-1})^{j}}{j}}\right)\leq \sum _{i=1}^{k}{\frac {2}{p_{i}^{2}}}\leq 2\sum _{n\in \mathbb {N} _{+}}{\frac {1}{n^{2}}}\,.$

Da die Summe der reziproken Quadrate nach Beispiel konvergiert, ist diese Gesamtsumme beschränkt. Daher ist die Summe ${}\sum _{i=1}^{k}{\frac {1}{p_{i}}}$ unbeschränkt, was die Behauptung ist.

Zur bewiesenen Aussage