Produktintegration/Falscher Beweis/Aufgabe

Finde den oder die Fehler im folgenden „Beweis“ für die Aussage, dass man zu zwei stetigen Funktionen

$f,g\colon \mathbb {R} _{\geq 0}\longrightarrow \mathbb {R} _{+}$

eine Stammfunktion zu ${}fg$ finden kann, indem man (geeignete) Stammfunktionen zu ${}f$ und zu ${}g$ miteinander multipliziert.

„Es sei ${}F$ eine Stammfunktion zu ${}f$ und ${}G$ eine Stammfunktion zu ${}g$, die wir beide positiv wählen, was wegen der Positivität von ${}f$ und ${}g$ möglich ist. Für positive Zahlen ist der natürliche Logarithmus definiert, so dass man diese Funktionen mit dem Logarithmus verknüpfen kann. Dann ist ${}\ln F$ eine Stammfunktion von ${}\ln f$ und ${}\ln G$ eine Stammfunktion von ${}\ln g$. Nach der Additionsregel für Stammfunktionen ist somit ${}\ln F+\ln G$ eine Stammfunktion von ${}\ln f+\ln g$. Wir wenden auf diese Situation die Umkehrfunktion des Logarithmus, also die Exponentialfunktion an, und erhalten mit Hilfe der Funktionalgleichung der Exponentialfunktion, dass

${}\exp \left(\ln F+\ln G\right)=\exp \left(\ln F\right)\cdot \exp \left(\ln G\right)=F\cdot G\,$

eine Stammfunktion von

${}\exp \left(\ln f+\ln g\right)=\exp \left(\ln f\right)\cdot \exp \left(\ln g\right)=f\cdot g\,$

ist.“

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