Produktintegration/Falscher Beweis/Aufgabe

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Finde den oder die Fehler im folgenden „Beweis“ für die Aussage, dass man zu zwei stetigen Funktionen

eine Stammfunktion zu finden kann, indem man (geeignete) Stammfunktionen zu und zu miteinander multipliziert.

„Es sei eine Stammfunktion zu und eine Stammfunktion zu , die wir beide positiv wählen, was wegen der Positivität von und möglich ist. Für positive Zahlen ist der natürliche Logarithmus definiert, so dass man diese Funktionen mit dem Logarithmus verknüpfen kann. Dann ist eine Stammfunktion von und eine Stammfunktion von . Nach der Additionsregel für Stammfunktionen ist somit eine Stammfunktion von . Wir wenden auf diese Situation die Umkehrfunktion des Logarithmus, also die Exponentialfunktion an, und erhalten mit Hilfe der Funktionalgleichung der Exponentialfunktion, dass

eine Stammfunktion von

ist.“