Produktionsmatrix/1/Aufgabe/Lösung

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a) Die Matrix ist

da in der -ten Spalte die für das -te Produkt benötigte Rohstoffmenge stehen muss.

b) Die benötigte Rohstoffmenge ist

c) Es geht um das lineare Gleichungssystem

das wir zunächst ohne Berücksichtigung der Tatsache, dass nur nichtnegative Tupel sinnvoll interpretiert werden können. Wir ziehen vom -fachen der dritten Zeile das -fache der ersten Zeile ab und erhalten

Jetzt addieren wir zur dritten Zeile das -fache der zweiten Zeile hinzu und erhalten

Mit

erhalten wir die eindeutige Lösung

und

Mit

erhalten wir die eindeutige Lösung

und

Alle Lösungen haben somit die Form

mit . Wegen der ersten Zeile muss sein. Dann ergibt die zweite Zeile aber einen negativen Wert und daher gibt es keine Lösung.

d) Vom Produkt kann man maximal eine Einheit produzieren, vom Produkt maximal eine halbe Einheit.
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