Produktionsmatrix/2/Aufgabe/Lösung

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a) Die Matrix ist

da in der -ten Spalte die für das -te Produkt benötigte Rohstoffmenge stehen muss.

b) Die benötigte Rohstoffmenge ist

c) Es geht um das lineare Gleichungssystem

das wir zunächst ohne Berücksichtigung der Tatsache lösen, dass nur nichtnegative Tupel sinnvoll interpretiert werden können. Wir ziehen vom -fachen der dritten Zeile das Doppelte der zweiten Zeile ab und erhalten

Jetzt ziehen wir von der dritten Zeile das Doppelte der ersten Zeile ab und erhalten

Mit

erhalten wir die eindeutige Lösung

und

Mit

erhalten wir die eindeutige Lösung

und

Alle Lösungen des linearen Gleichungssystems haben somit die Form

mit .

Wir berücksichtigen jetzt noch, dass von diesen Lösungen des linearen Gleichungssystems nur diejenigen sinnvoll interpretiert werden können, bei denen von jedem Produkt eine nichtnegative Menge produziert wird. Dies ergibt vier Abschätzungen, die Bedingungen an festlegen. Wegen der ersten Zeile muss sein und damit ist auch die vierte Zeile erfüllt. Die zweite Zeile führt auf die Bedingung

also

Die dritte Zeile führt auf die Bedingung

also

Damit alle Einträge nichtnegativ sind, muss der Parameter aus

gewählt werden. Die aus den gegebenen Rohstoffmengen produzierbare Tupel sind also

mit

.