Produktmenge/Endlich/Produkt-Prämaß/Wohldefiniertheit/Eigenschaften/Teil 1/Fakt/Beweis

Beweis

Wir beschränken uns im Beweis auf zwei Mengen ${}(M,{\mathcal {P}},\pi )$ und ${}(N,{\mathcal {R}},\rho )$, die allgemeine Aussage folgt daraus durch Induktion. Seien

${}V=\biguplus _{i\in I}Q_{i}=\biguplus _{j\in J}L_{j}\,$

zwei Darstellungen einer Menge ${}V\subseteq M\times N$ als endliche disjunkte Vereinigung von Quadern. Wir müssen ${}\sum _{i\in I}\mu (Q_{i})=\sum _{j\in J}\mu (L_{j})$ zeigen. Für jeden Quader ${}Q_{i}$ ist insbesondere ${}Q_{i}\subseteq \bigcup _{j\in J}L_{j}$. Damit ist auch

${}Q_{i}=Q_{i}\cap {\left(\biguplus _{j\in J}L_{j}\right)}=\biguplus _{j\in J}{\left(Q_{i}\cap L_{j}\right)}\,.$

Nach Fakt sind die Durchschnitte rechts selbst Quader. Damit erhalten wir eine dritte Darstellung von ${}V$, die beide Darstellungen verfeinert. Daher können wir gleich annehmen, dass jedes ${}L_{j}$ Teilmenge eines ${}Q_{i}$ ist. Dann ist insbesondere ${}Q_{i}=\biguplus _{j\in J_{i}}L_{j}$ mit einer gewissen Teilmenge ${}J_{i}\subseteq J$, wobei die ${}J_{i}$ für verschiedene ${}i$ disjunkt sind. Es genügt also, für einen Quader

${}Q=A\times B=\biguplus _{j\in J}L_{j}\,$

die Gleichheit

${}\mu (Q)=\sum _{j\in J}\mu (L_{j})\,$

zu zeigen. Da ${}J$ endlich ist, sind überhaupt nur endlich viele Seiten ${}S_{j}$ aus ${}{\mathcal {P}}$ und ${}T_{j}$ aus ${}{\mathcal {R}}$ an diesen überdeckenden Quadern beteiligt. Aus diesen Seiten kann man ein Mengensystem ${}{\mathcal {S}}$ bilden, das aus allen möglichen feinsten Durchschnitten der ${}S_{j}$ und ihrer Komplemente ${}A\setminus S_{j}$ besteht, und ein Mengensystem ${}{\mathcal {T}}$ bilden, das aus allen möglichen feinsten Durchschnitten der ${}T_{j}$ und ihrer Komplemente ${}B\setminus T_{j}$ besteht. Diese Mengen sind disjunkt und seien mit ${}S_{\lambda }$, ${}\lambda \in \Lambda$, und ${}T_{\gamma }$, ${}\gamma \in \Gamma$, bezeichnet (das bedeutet, dass wir ein „Raster“ einführen). Damit kann man jeden Quader ${}L_{j}$ als eine endliche disjunkte Vereinigung aus Quadern der Form ${}S_{\lambda }\times T_{\gamma }$ schreiben, und zwar als

${}L_{j}={\left(\biguplus _{\lambda \in \Lambda _{j}}S_{\lambda }\right)}\times {\left(\biguplus _{\gamma \in \Gamma _{j}}T_{\gamma }\right)}=\biguplus _{(\lambda ,\gamma )\in \Lambda _{j}\times \Gamma _{j}}S_{\lambda }\times T_{\gamma }\,,$

und jeder dieser Quader kommt in genau einem ${}L_{j}$ vor. Insgesamt ergibt sich

${}{\begin{aligned}\mu (Q)&=\pi (A)\cdot \rho (B)\\&=\pi {\left(\biguplus _{\lambda \in \Lambda }S_{\lambda }\right)}\cdot \rho {\left(\biguplus _{\gamma \in \Gamma }T_{\gamma }\right)}\\&={\left(\sum _{\lambda \in \Lambda }\pi (S_{\lambda })\right)}\cdot {\left(\sum _{\gamma \in \Gamma }\rho (T_{\gamma })\right)}\\&=\sum _{(\lambda ,\gamma )\in \Lambda \times \Gamma }\pi (S_{\lambda })\cdot \rho (T_{\gamma })\\&=\sum _{j\in J}{\left(\sum _{(\lambda ,\gamma )\in \Lambda _{j}\times \Gamma _{j}}\pi (S_{\lambda })\cdot \rho (T_{\gamma })\right)}\\&=\sum _{j\in J}{\left(\sum _{\lambda \in \Lambda _{j}}\pi (S_{\lambda })\right)}\cdot {\left(\sum _{\gamma \in \Gamma _{j}}\rho (T_{\gamma })\right)}\\&=\sum _{j\in J}\mu (L_{j}).\end{aligned}}$

Zur bewiesenen Aussage

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