Produktmenge/Endlich/Quaderbeschreibung des Produkt-Präringes/Fakt/Beweis

Beweis

Die Quader $S_1\times \cdots \times S_n$ mit  $S_i\in {𝒫}_i$  gehören zum Produkt-Präring, und damit auch endliche Vereinigungen davon. Wir müssen also zeigen, dass das angegebene Mengensystem $\mathscr{H}$ (das aus den endlichen disjunkten Vereinigungen von Quadern besteht) ein Präring ist.  Wir beschränken uns dabei auf den Fall von zwei Mengen $(M,𝒫)$ und $(N,ℛ)$, der allgemeine Fall folgt daraus durch Induktion. Die leere Menge ist als leerer Quader in $\mathscr{H}$ enthalten. Wir diskutieren zunächst die Mengenoperationen für zwei Quader $S_1\times T_1$ und $S_2\times T_2$. Der Durchschnitt davon ist gleich  $(S_1\times T_1)\cap (S_2\times T_2)=(S_1\cap S_2)\times (T_1\cap T_2)$,  also wieder ein Quader. Für die Vereinigung gilt

$\begin{array}{cc}(S_1\times T_1)\cup (S_2\times T_2)& =((S_1\setminus S_2)\times T_1)\uplus ((S_1\cap S_2)\times (T_1\cup T_2))\uplus ((S_2\setminus S_1)\times T_2)\\ \end{array}$

was eine endliche disjunkte Vereinigung aus Quadern ist. Für die Differenzmenge ist

$(S_1\times T_1)\setminus (S_2\times T_2)=((S_1\setminus S_2)\times T_1)\uplus ((S_1\cap S_2)\times (T_1\setminus T_2))$

ebenfalls eine endliche disjunkte Vereinigung von Quadern.
Es seien nun zwei disjunkte endliche Vereinigungen von Quadern, $V_1=\underset{i\in I}{⨄}{Q}_i$ und $V_2=\underset{j\in J}{⨄}{L}_j$, gegeben. Dann ist

$\begin{array}{cc}{V}_1\setminus V_2& =\left(\underset{i\in I}{⨄}{Q}_i\right)\setminus \left(\underset{j\in J}{⨄}{L}_j\right)\\ & =\underset{i\in I}{⨄}(Q_i\setminus \left(\underset{j\in J}{⨄}{L}_j\right))\\ & =\underset{i\in I}{⨄}((Q_i\setminus L_{j_0})\setminus \left(\underset{j\in J,j\ne j_0}{⨄}{L}_j\right)).\end{array}$

Nach der obigen Überlegung ist $Q_i\setminus L_{j_0}$ für jedes $i$ eine endliche disjunkte Vereinigung von Quadern. Diese kann man zu einer disjunkten Vereinigung von kleineren Quadern über eine größere Indexmenge $I^{\prime }$ zusammenfassen. Die Behauptung folgt somit durch Induktion über die Anzahl von $J$. Für die Vereinigung ist

$\begin{array}{cc}{V}_1\cup V_2& =\left(\underset{i\in I}{⨄}{Q}_i\right)\cup \left(\underset{j\in J}{⨄}{L}_j\right)\\ \end{array}$

eine endliche Vereinigung von Quadern. Durch Induktion über die Anzahl der Quader kann man unter Verwendung der obigen Überlegung für zwei Quader zeigen, dass man dies auch als eine endliche disjunkte Vereinigung von Quadern darstellen kann.

Zur bewiesenen Aussage