Produktmenge/Rationale Zahlen als Brüche/Beispiel

Häufig werden Paare nicht in der Form $(x,y)$ geschrieben, sondern in einer anderen Form, die aber ebenfalls die Position im Paar, also die Zugehörigkeit zu einer der beteiligten Mengen, ausdrücken muss. Betrachten wir z.B. die Produktmenge

$\mathbb{Z}\times {\mathbb{N}}_{+}$

und schreiben die Paare als $x/y$ oder als

$\frac{x}{y}.$

Bei dieser Schreibweise soll der „Zähler“ (also das oberhalb des Striches) aus der ersten Menge $\mathbb{Z}$ sein und der „Nenner“ aus ${\mathbb{N}}_{+}$. Hier wird also ein Paar als ein formaler Bruch geschrieben. Man beachte aber, dass auf dieser Ebene keine Identifizierung zwischen den beiden Paaren $(3,2)$ und $(6,4)$ stattfindet, wie dies bei der inhaltlichen Interpretation als rationale Zahl geschieht. Es gibt aber eine (surjektive, nicht injektive) Abbildung

$\mathbb{Z}\times {\mathbb{N}}_{+}⟶\mathbb{Q},(x,y)⟼\frac{x}{y}.$