Projekt:CoCoA-Berechnungen/Idealauflösung/Dreidimensionale Fermathyperflächen/Maximales Ideal

Für die Fermathyperfläche

$x^{\delta }+y^{\delta }+z^{\delta }+w^{\delta }=0$

ist der Anfang der Idealauflösung zum maximalen Ideal

${}\ldots \longrightarrow R(-3)^{4}\oplus R(-\delta -1)^{4}\longrightarrow R(-2)^{6}\oplus R(-\delta )\longrightarrow R(-1)^{4}\longrightarrow R\longrightarrow R/I\longrightarrow 0\,.$

Der Rang des zweiten Syzygienbündels ist vier.

Der Grad des ersten Syzygienbündels ${}Syz_{1}(m)$ ist ${}(3m-4)\delta$ und der Grad des zweiten Syzygienbündels ${}Syz_{2}(m)$ ist ${}(4m-8-\delta )\delta$.

In der Auflösung ist die Abbildung von

$\oplus _{4}{\mathcal {O}}(-3)\longrightarrow Syz_{2}\subset \oplus _{6}{\mathcal {O}}(-2)\oplus {\mathcal {O}}(-\delta )$

in den ersten sechse Komponenten gegeben durch Koszulsyzygien, daher ist das Bild ${}{\mathcal {B}}$ dieser Teilabbildung gleich

$0\longrightarrow {\mathcal {O}}(-4)\longrightarrow \oplus _{4}{\mathcal {O}}(-3)\longrightarrow {\mathcal {B}}\longrightarrow 0,$

daher ist ${}{\mathcal {B}}\cong (Syz(x,y,z,w)^{*})(-4)$

(das duale erste Syzygienbündel). Insgesamt ergibt sich wohl eine Filtrierung

$0\longrightarrow {\mathcal {B}}\longrightarrow Syz_{2}\longrightarrow {\mathcal {O}}(-\delta )\longrightarrow 0,$

wobei der Grad links gleich ${}-8\delta$ und rechts ${}-\delta ^{2}$ ist, was den Grad in der Mitte ergibt. Der slope rechts ist ${}-{\frac {8}{3}}\delta$, so dass bei ${}\delta \geq 3$ ein destabilisierendes Unterbündel vorliegt.