Die Auflösung ist
0
⟶
R
(
−
5
)
3
⟶
R
(
−
4
)
6
⟶
R
(
−
2
)
3
⊕
R
(
−
3
)
⟶
R
⟶
R
/
I
⟶
0
.
{\displaystyle {}0\longrightarrow R(-5)^{3}\longrightarrow R(-4)^{6}\longrightarrow R(-2)^{3}\oplus R(-3)\longrightarrow R\longrightarrow R/I\longrightarrow 0\,.}
Die zugehörige Garbenauflösung ist
0
⟶
O
(
−
5
)
3
⟶
O
(
−
4
)
6
⟶
O
(
−
2
)
3
⊕
O
(
−
3
)
⟶
O
⟶
0
.
{\displaystyle {}0\longrightarrow {\mathcal {O}}(-5)^{3}\longrightarrow {\mathcal {O}}(-4)^{6}\longrightarrow {\mathcal {O}}(-2)^{3}\oplus {\mathcal {O}}(-3)\longrightarrow {\mathcal {O}}\longrightarrow 0\,.}
Aus den zugehörigen kurzen exakten Sequenzen
0
⟶
S
y
z
1
⟶
O
(
−
2
)
3
⊕
O
(
−
3
)
⟶
O
⟶
0
{\displaystyle {}0\longrightarrow Syz_{1}\longrightarrow {\mathcal {O}}(-2)^{3}\oplus {\mathcal {O}}(-3)\longrightarrow {\mathcal {O}}\longrightarrow 0\,}
und
0
⟶
O
(
−
5
)
3
⟶
O
(
−
4
)
6
⟶
S
y
z
1
⟶
0
{\displaystyle {}0\longrightarrow {\mathcal {O}}(-5)^{3}\longrightarrow {\mathcal {O}}(-4)^{6}\longrightarrow Syz_{1}\longrightarrow 0\,}
ergeben sich für die k-ten symmetrischen Potenzen die (garbenexakten) Komplexe
0
⟶
S
k
(
S
y
z
1
)
⟶
S
k
(
O
(
−
2
)
3
⊕
O
(
−
3
)
)
⟶
S
k
−
1
(
O
(
−
2
)
3
⊕
O
(
−
3
)
)
⟶
0
(
1
)
{\displaystyle {}0\longrightarrow S^{k}(Syz_{1})\longrightarrow S^{k}({\mathcal {O}}(-2)^{3}\oplus {\mathcal {O}}(-3))\longrightarrow S^{k-1}({\mathcal {O}}(-2)^{3}\oplus {\mathcal {O}}(-3))\longrightarrow 0\quad (1)\,}
und
0
⟶
⋀
3
(
O
(
−
5
)
3
)
⊗
S
k
−
3
(
O
(
−
4
)
6
)
⟶
⋀
2
(
O
(
−
5
)
3
)
⊗
S
k
−
2
(
O
(
−
4
)
6
)
{\displaystyle {}0\longrightarrow \bigwedge ^{3}({\mathcal {O}}(-5)^{3})\otimes S^{k-3}({\mathcal {O}}(-4)^{6})\longrightarrow \bigwedge ^{2}({\mathcal {O}}(-5)^{3})\otimes S^{k-2}({\mathcal {O}}(-4)^{6})\,}
⟶
(
O
(
−
5
)
3
)
⊗
S
k
−
1
(
O
(
−
4
)
6
)
⟶
S
k
(
O
(
−
4
)
6
)
⟶
S
k
(
S
y
z
1
)
⟶
0
(
2
)
,
{\displaystyle {}\longrightarrow ({\mathcal {O}}(-5)^{3})\otimes S^{k-1}({\mathcal {O}}(-4)^{6})\longrightarrow S^{k}({\mathcal {O}}(-4)^{6})\longrightarrow S^{k}(Syz_{1})\longrightarrow 0\quad (2)\,,}
wobei sich der zweite Komplex schreiben laesst als
0
⟶
O
(
−
15
)
⊗
(
O
(
−
4
k
+
12
)
(
k
−
8
5
)
)
⟶
O
(
−
10
)
3
⊗
(
O
(
−
4
k
+
8
)
(
k
−
7
5
)
)
{\displaystyle {}0\longrightarrow {\mathcal {O}}(-15)\otimes {\big (}{\mathcal {O}}(-4k+12)^{\binom {k-8}{5}}{\big )}\longrightarrow {\mathcal {O}}(-10)^{3}\otimes {\big (}{\mathcal {O}}(-4k+8)^{\binom {k-7}{5}}{\big )}\,}
⟶
O
(
−
5
)
3
⊗
(
O
(
−
4
k
+
4
)
(
k
−
6
5
)
)
⟶
O
(
−
4
k
)
(
k
−
5
5
)
⟶
S
k
(
S
y
z
1
)
⟶
0
{\displaystyle {}\longrightarrow {\mathcal {O}}(-5)^{3}\otimes {\big (}{\mathcal {O}}(-4k+4)^{\binom {k-6}{5}}{\big )}\longrightarrow {\mathcal {O}}(-4k)^{\binom {k-5}{5}}\longrightarrow S^{k}(Syz_{1})\longrightarrow 0\,}
bzw.
0
⟶
O
(
−
4
k
−
3
)
(
k
−
8
5
)
⟶
O
(
−
4
k
−
2
)
3
⋅
(
k
−
7
5
)
{\displaystyle {}0\longrightarrow {\mathcal {O}}(-4k-3)^{\binom {k-8}{5}}\longrightarrow {\mathcal {O}}(-4k-2)^{3\cdot {\binom {k-7}{5}}}\,}
⟶
O
(
−
4
k
−
1
)
3
⋅
(
k
−
6
5
)
⟶
O
(
−
4
k
)
(
k
−
5
5
)
⟶
S
k
(
S
y
z
1
)
⟶
0.
{\displaystyle {}\longrightarrow {\mathcal {O}}(-4k-1)^{3\cdot {\binom {k-6}{5}}}\longrightarrow {\mathcal {O}}(-4k)^{\binom {k-5}{5}}\longrightarrow S^{k}(Syz_{1})\longrightarrow 0.\,}
Die Wechselsumme der globalen Schnitte im "freien" Teil dieser Sequenz gibt eine Abschaetzung fuer die globalen Schnitte von
S
k
(
S
y
z
)
{\displaystyle S^{k}(Syz)}
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
15,
55,
105,
153,
190,
210,
210,
189,
147,
84,
0,
-105,
-231.
