Projekt:Einführung Spieltheorie/Übungsaufgaben

1.Übungsblatt

Aufgabe 1.1

Gefangendendilemma

Die Notenverteilung wird anhand einer Kurve vergeben. Die Studenten einer Universität werden also im Wettbewerb zueinander bewertet.

• Die Studenten können sich verabreden, möglichst wenig zu leisten, damit alle gute Noten mit minimalen Aufwand erhalten.

• Jeder Student hat den Gewissenskonflikt, denn er kann eine Stunde mehr lernen, um sich gegenüber den Wettbewerb zu verbessern.

Für die Universität wäre eine gute Notenvergabe interessant. Sie könnte eine strenge Auslesepolitik für die Masterplätze fahren und die nicht-genommenden Bachelor-Studenten an andere Universitäten exportieren. Die Studenten strömen in diese Universität, weil sie gute Noten bekommen und einen aussichtsreiche Chance auf einen Masterplatz in der deutschen Bildungslandschaft. Da sie im Ruf steht gute Absolventen hervorzubringen, glauben die Personaler, dass gute Abolventen von dort kommen.

Solange die Studenten sich alle an das stillschweigende Abkommen halten und nichts nach außen dringen lassen, wird keine andere Universität die Politik imitieren und die Persoonaler bekommen keinen Wind von der Sache.

Aufgabe 1.2 a)

Erläutern Sie die wesentlichen Unterschied zwischen einer Einpersonen-Entscheidung und einer interaktiven Mehrpersonen Entscheidung

Ein-Personen Spiel:

Es gibt nur einen Spieler, weshalb das Spiel degeneriert ist in dem Sinn, dass strategische Interaktionen keine Rolle mehr spielen können.

Beispiel: Schatzsuche im Labyrinth

Das Spiel besteht darin, dass 1 ein Labyrinth betritt und

• entweder im Labyrinth gegen eine Wand stößt, womit das Spiel mit einer Auszahlung von Null beendet ist (einfach umkehren ist also nicht zulässig),
• oder am Ausgang des Labyrinths einen Schatz findet, den er als Preis des Werts W erhält.

Interaktive Mehrpersonen Entscheidung

• Informationsstand
• Menge der Spieler
• Strategiemenge
• Timing

Beispiele:

• VWL: Modellierung der Interaktion von Geld- und Lohnpolitik, Analyse von (verschiedenen Arten von) Lohnverhandlungen
• BWL: Wahl von Marketingstrategien, Modellierung des Verhaltens bei Auktionen (und damit auch design der Auktionen)
• Politikwissenschaft: Parteienwettbewerb
• Biologie: Wettbewerb innerhalb und zwischen verschiedenen Populationen um knappe Ressourcen (Wasser, Nahrung, Nistplätze, . . . )
• Militär: ("Strategische") Kriegsführung; Kalter Krieg
• Religionswissenschaft: Die Bibel enthält - wie alle interessanten Bücher - eine ganze Reihe von "Geschichten", die mehr oder weniger komplexe Entscheidungssituationen beinhalten. Deren spieltheoretische Aufarbeitung ist Gegenstand des Buches von Steven J. Brams (2003) - und eine empfehlenswerte und spannende Lektüre.

Exkurs: Normalform

Die Normalform eines Spiels spezifiziert für jeden Spieler den Strategieraum $S_{i}$ mit s = ($s_{1}$, $s_{2}$, $s_{3}$, ..., $s_{i}$), $s_{i}\in S$(sowie die Auszahlungsfunktion $u_{i}$(s) $\forall i$. Das Spiel wird mit G={S,U} bezeichnet, wobei S = ($S_{1}$, $S_{2}$,...,$S_{i}$ und u = ($u_{1}$, $u_{2}$,...,$u_{i}$).

Aufgabe 1.2 b)

Formuliere ein Mehrpersonen-Entscheidung als Spiel. Was sind die wesentlichen Elemente des Spiels ?

Interaktive (Mehrpersonen-)Entscheidungssituation. In einem Spiel sind die Beteiligten (Spieler), ihre Handlungsmöglichkeiten (Strategien) und ihre Präferenzen (Auszahlung) klar bestimmt.

Die wesentlichen Eigenschaften (Charakteristika) eines Spiels (in Normalform) sind:

• Die Beteiligten (Spieler) N = {1, 2, …, n}
• Die jeweiligen Handlungsmöglichkeiten (Strategien) $s_{i}$ Є $S_{i}$ , S = $S_{1}$ x $S_{2}$ x … x $S_{n}$

• Die Nutzen (Auszahlungen) der Spieler $u_{i}(s)$ = $u_{i}$ ($s_{i}$ ; $s_{-i}$ ) mit i = 1, …, n s = ($s_{1}$ , $s_{2}$ , $s_{3}$ , …, $s_{n}$ ) bezeichnet eine Kombination von Strategien, eine Strategie für jeden

Spieler. s beschreibt einen vollständigen Spielverlauf, $u_{i}$(s) die individuelle Bewertung des Spielverlaufs durch Spieler i. U bezeichnet die Zuordnung s → ($u_{1}(s)$, $u_{2}(s)$, …, $u_{n}(s)$) und G = (N, S, U) das Spiel. G steht dabei für die englische Bezeichnung »game« (=Spiel).

Kapitel 4, S. 15

Aufgabe 1.2 c)

Was versteht man unter einer Strategie ?

Unter einer Strategie eines Spielers versteht man in der Spieltheorie einen vollständigen Plan, wie sich der Spieler in jeder denkbaren Spielsituation verhalten wird. Durch die Strategie wird also das Spielverhalten eines Spielers vollständig beschrieben.

Typischerweise bezeichnet die erste Zahl den Spieler, die zweite seine Strategie. $s_{i3}$ bezeichnet demnach die dritte Strategie von Spieler i, $s_{i}$ ganz allgemein eine Strategie des Spielers i, $S_{i}$ die Menge aller Strategien des Spielers i.

Aussage $s_{i}$ ist ein Element aus der Menge aller Strategien $S_{i}$ auch ab als:

$s_{i}\epsilon S_{i}$ = {$s_{i1},s_{i2},s_{i3},...,s_{im}$ }

Ein konkreter Spielverlauf wird dann durch die Strategiewahl der einzelnen Spieler vollständig bestimmt. Da jeder Spieler frei ist eine beliebige (zulässige) Strategie zu wählen ist jede Kombination der Strategien grundsätzlich denkbar. Wir bezeichnen eine solche Strategiekombination mit s = ($s_{1}$ , $s_{2}$ , $s_{3}$ , …, $s_{n}$) . Sie beschreibt ein konkretes Verhalten jedes Spielers im gesamten Spiel. Mitunter konzentrieren wir uns auf die Auswahl eines Spielers i bei gegebener Wahl aller anderen Spieler und kürzen dies mit ($s_{i}$ ; $s_{-i}$ ) ab, wobei $s_{-i}$ = {$s_{1}$ , …,$s_{i-1}$ , $s_{i+1}$ , …, $s_{n}$ } die Wahl aller Spieler mit Ausnahme des Spielers i beschreibt. Hinsichtlich der Entscheidung eines Spielers wird unterstellt, dass jeder Spieler versucht, seine eigenen Ziele nach Möglichkeit zu erreichen.