Projekt:Mathe-Werkstatt/Fibonacci-Folge mit Lücken

Die Fibonacci-Folge $(F_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ ist folgendermaßen definiert:  $F_{1}:=1,\quad F_{2}:=1,\quad F_{n}:=F_{n-1}+F_{n-2}{\text{ für alle }}n\in {\mathbb {N} }_{\geq 3}$.

Offenbar gilt für alle $n\in \mathbb {N}$:  $F_{n}={\begin{cases}1&,\ \ n\leq 2\\F_{n-1}+F_{n-2}&,\ \ {\text{sonst}}\end{cases}}$  .

Die ersten Fibonacci-Zahlen lauten $1,\ 1,\ 2,\ 3,\ 5,\ 8,\ 13,\ 21,\ 34,\ 55,\ 89,\ 144,\ 233,\ 377,\ 610,\ 987,\ 1597,\ 2584,\ 4181,\ \ldots$.

Nun definieren wir eine neue Funktion $G\colon \mathbb {N} \cup (\mathbb {N} +{\tfrac {1}{2}})\to \mathbb {Q}$ wie folgt:   Für alle $n\in \mathbb {N} \cup (\mathbb {N} +{\tfrac {1}{2}})$ sei $G(n):={\begin{cases}1&,\ \ n\leq 2\\G\left(n-1\right)-G\left(n-{\tfrac {1}{2}}\right)&,\ \ {\text{sonst}}\end{cases}}$  .

Interessant ist nun die Auswertung von G an ganzzahligen Argumenten: Es ergibt sich nämlich
$(G(n))_{n\in \mathbb {N} }=(1,\ 1,\ 1,\ 2,\ 5,\ 13,\ 34,\ 89,\ 233,\ 610,\ 1597,\ 4181,\ \ldots )$;
d.h. es liegt nahe zu vermuten, dass jede zweite Fibonacci-Zahl ausgelassen wird.

Jene Vermutung zu bestätigen oder zu widerlegen, soll das Hauptergebnis dieses Projekts sein.

--Mathekatze (Diskussion) 22:12, 21. Jul. 2013 (CEST)