Projektive Ebene/Q/Höhe/Beispiel

Betrachten wir den rationalen Punkt ${}\left(8,\,{\frac {7}{26}},\,{\frac {4}{45}}\right)\in {\mathbb {P} }_{\mathbb {Q} }^{2}$. Wir müssen für die verschiedenen Beträge das Maximum bestimmen und die Ergebnisse miteinander multiplizieren. Für den archimedischen Betrag ${}\vert {-}\vert _{\mathbb {R} }$ hat man direkt ${}8$, gehen wir also die Primzahlen durch. Dabei wird das Maximum des Betrages im Minimum der zugehörigen Bewertungsordnung angenommen. Die ${}2$ kommt in der mittleren Koordinate mit Ordnung ${}-1$ vor, was zum maximalen ${}2$-Betrag ${}2^{1}=2$ führt. Die ${}3$ kommt in der dritten Koordinate mit Ordnung ${}-2$ vor, was zum maximalen ${}3$-Betrag ${}3^{2}=9$ führt. Die ${}5$ kommt in der dritten Koordinate mit Ordnung ${}-1$ vor, was zum maximalen ${}5$-Betrag ${}5^{1}=5$ führt. Die ${}7$ kommt in der zweiten Koordinate mit Ordnung ${}1$ vor, was für diese Komponente zum ${}7$-Betrag ${}7^{-1}$ führt, der aber irrelevant ist, da ja das Maximum mit ${}1$ genommen wird. Schließlich kommt die ${}13$ in der zweiten Koordinate mit Ordnung ${}-1$ vor, was zum maximalen ${}13$-Betrag ${}13$ führt, die anderen Beträge haben den Wert ${}1$. Die Höhe des Punktes ist somit

$8\cdot 2\cdot 9\cdot 5\cdot 13.$