Projektive Ebene/Syz vierte Potenzen/Torsor/Einschränkung/Beispiel

Es sei $K$ ein Körper von positiver Charakteristik,  $R=K[X,Y,Z]$,   $I=(X^4,Y^4,Z^4)$.  Es ist  $X^3{Y}^3{Z}^3\notin I$.  Wir betrachten die graduierte Auflösung des Ideals auf der projektiven Ebene, also

$0⟶{𝒪}_{{\mathbb{P}}_K^2}(-12)⟶\underset{3}{⨁}{𝒪}_{{\mathbb{P}}_K^2}(-8)⟶\underset{3}{⨁}{𝒪}_{{\mathbb{P}}_K^2}(-4)⟶{𝒪}_{{\mathbb{P}}_K^2}⟶0$

mit dem mittleren Kern $\mathrm{Syz}(X^4,Y^4,Z^4)$. Der neunte Twist ergibt hinten die kurze exakte Sequenz

$0\stackrel{}{⟶}{𝒪}_{{\mathbb{P}}_K^2}(-3)\stackrel{}{⟶}\underset{3}{⨁}{𝒪}_{{\mathbb{P}}_K^2}(1)\stackrel{}{⟶}\mathrm{Syz}(X^4,Y^4,Z^4)(9)\stackrel{}{⟶}0,$

die zeigt, dass $\mathrm{Syz}(X^4,Y^4,Z^4)(9)$ ein geräumiges Bündel ist. Wir betrachten die zu $X^3{Y}^3{Z}^3$ gehörige erste Kohomologieklasse

$c\in H^1({\mathbb{P}}_K^2,\mathrm{Syz}(X^4,Y^4,Z^4)(9))$

und den zugehörigen Torsor

$T⟶{\mathbb{P}}_K^2.$

Dieser enthält keine projektive Fläche, seine kohomologische Dimension ist $1$ (er annulliert mit $c$ auch die zweite Kohomologieklasse $\frac{1}{XYZ}\in H^2({\mathbb{P}}_K^2,{𝒪}_{{\mathbb{P}}_K^2}(-3))$, er ist aber auch nicht affin). Die Einschränkung von $\mathrm{Syz}(X^4,Y^4,Z^4)(9)$ auf jede Kurve  $C\subseteq {\mathbb{P}}_K^2$  ist wieder ampel und deshalb wird die eingeschränkte Kohomologieklasse sogar vom Frobenius annulliert. Insbesondere gibt es über jeder Kurve $C$ eine projektive Kurve $C^{\prime }$ in $T$.