Projektive Gerade/C/Holomorphe Differentialform/Erste Kohomologie/Beispiel

Bei der affinen Standardüberdeckung

${\mathbb{P}}_{ℂ}^1=U\cup V$

mit  $U\cong ℂ$  und  $V\cong ℂ$  ist

$U\cap V\cong ℂ\setminus \{0\}.$

Eine erste Kohomologieklasse der Garbe der holomorphen Differentialformen wird durch

$z^{-1}dz$

repräsentiert. Diese Form kann man auch als $-zd{z}^{-1}$ schreiben. Man kann sie nicht als eine Differenz $hdz-gd{z}^{-1}$ schreiben, wobei $h$ eine holomorphe Funktion auf $U$ (in $z$) und $g$ eine holomorphe Funktion auf $V$ (in $z^{-1}$) ist. Für eine solche Form gilt

$h(z)dz-g(z^{-1})d{z}^{-1}=h(z)dz+\frac{g(z^{-1})}{z^2}dz.$

Wenn man die Koeffizienten in den Potenzreihen anschaut, so sieht man, dass der Summand $z^{-1}$ nicht vorkommt. Zugleich sieht man, dass skalare Vielfache der Form $z^{-1}dz$ die einzigen holomorphen Formen sind, die man nicht als Differenz schreiben kann. Es ist also

$H^1({\mathbb{P}}_{ℂ}^1,\Omega )\cong ℂ.$