Projektive Gerade/C/Holomorphe Differentialform/Erste Kohomologie/Beispiel

Bei der affinen Standardüberdeckung

${}{\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}=U\cup V\,$

mit ${}U\cong {\mathbb {C} }$ und ${}V\cong {\mathbb {C} }$ ist

${}U\cap V\cong {\mathbb {C} }\setminus \{0\}\,.$

Eine erste Kohomologieklasse der Garbe der holomorphen Differentialformen wird durch

$z^{-1}dz$

repräsentiert. Diese Form kann man auch als ${}-zdz^{-1}$ schreiben. Man kann sie nicht als eine Differenz ${}hdz-gdz^{-1}$ schreiben, wobei ${}h$ eine holomorphe Funktion auf ${}U$ (in ${}z$) und ${}g$ eine holomorphe Funktion auf ${}V$ (in ${}z^{-1}$) ist. Für eine solche Form gilt

${}h(z)dz-g(z^{-1})dz^{-1}=h(z)dz+{\frac {g(z^{-1})}{z^{2}}}dz\,.$

Wenn man die Koeffizienten in den Potenzreihen anschaut, so sieht man, dass der Summand ${}z^{-1}$ nicht vorkommt. Zugleich sieht man, dass skalare Vielfache der Form ${}z^{-1}dz$ die einzigen holomorphen Formen sind, die man nicht als Differenz schreiben kann. Es ist also

${}H^{1}({\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1},\Omega )\cong {\mathbb {C} }\,.$