Projektive Gerade/K-Punkte/Lokale Ringe isomorph/Aufgabe/Lösung

Ein jeder Punkt ${}P\in {\mathbb {P} }_{K}^{1}$ liegt auf einer affinen Geraden ${}P\in {\mathbb {A} }_{K}^{1}=D_{+}(L)\subset {\mathbb {P} }_{K}^{1}$. Dabei bezeichnet ${}L$ eine homogene Linearform. Weiter kann man durch Verschieben auf der affinen Geraden annehmen, dass es sich um den Nullpunkt handelt. Da man dies für jeden Punkt machen kann und da dies den lokalen Ring nicht ändert, sind alle lokalen Ringe isomorph untereinander. Der Nullpunkt auf der affinen Geraden besitzt als lokalen Ring die Lokalisierung ${}K[X]_{(X)}$.

Zur gelösten Aufgabe