Projektive Gerade/Komplex/Punkt/Invertierbare Garbe/Schnitte/Aufgabe/Lösung

1. Nach Fakt sind die Divisoren ${}P$ und ${}P'$ auf der projektiven Geraden zueinander linear äquivalent und nach Fakt sind dann die zugehörigen invertierbaren Garben isomorph.
2. Nach Definition ist unter Verwendung von Fakt

   ${}\Gamma {\left({\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1},{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}}(n\{\infty \})\right)}={\left\{f\mid f\in {\mathbb {C} }(z){\text{ und }}\operatorname {div} {\left(f\right)}\geq -n\{\infty \}\right\}}\,.$

   Es geht also um die rationalen Funktionen ${}{\frac {P}{Q}}$ in einer Variablen ${}z$, die im unendlich fernen Punkt einen Nullstellenordnung von kleinstenfalls ${}-n$ haben und ansonsten holomorph sind. Diese Bedingung bedeutet direkt, dass ${}P/Q$ in ${}{\mathbb {C} }$ keinen Pol besitzt und daher muss ${}Q$ (in einer teilerfremden Darstellung) eine Einheit sein. Wir betrachten also nur noch Polynome ${}P\in {\mathbb {C} }[z]$. Die Polordnung von einem Polynom vom Grad ${}d$ im unendlich fernen Punkt ist ${}d$ (beispielsweise wegen Fakt). Daher erlaubt die Bedingung genau diejenigen Polynome, deren Grad höchstens ${}n$ ist. Somit liegt für ${}n$ negativ der Nullraum vor und für ${}n\geq 0$ ist ${}1,z,z^{2},\ldots ,z^{n}$ eine Basis.

3. Für negatives ${}n$ ist die Dimension ${}0$ und für ${}n\geq 0$ ist die Dimension gleich ${}n+1$.

Zur gelösten Aufgabe