Projektive ebene Kurve/Glatt/Homogen/Differentialformen explizit/Fakt/Beweis

Beweis

Unmittelbar ist die Differentialform auf der offenen Menge ${}D_{+}(Y)\cap D_{+}({\frac {\partial F}{\partial Z}})$ definiert. Man beachte, dass die Quotienten in der Differentialform den Grad ${}0$ haben. Es ist zu zeigen, dass man die Form auch mit anderen Nennern schreiben kann, so dass die zugehörigen offenen Mengen die Kurve überdecken.

Wir betrachten die Differentialform

$\pm {\frac {Y^{2}}{\,{\frac {\partial F}{\partial Z}}\,}}d{\frac {X}{Y}}$

und die entsprechend gebildeten Formen, also ohne den Faktor ${}H$. Dies ist dann keine Differentialform auf der Kurve (außer bei ${}m=3$), sondern auf einer offenen Menge der affinen Varietät zum homogenen Koordinantering ${}K[X,Y,Z]/(F)$. Im Nenner steht die partielle Ableitung nach der Variablen, die im Differential rechts nicht vorkommt, und im Zähler steht das Quadrat der Variablen im Differential rechts im Nenner. Das Vorzeichen wählen wir so, dass es, wenn hinten ${}d{\frac {X}{Y}}$ oder ${}d{\frac {Y}{Z}}$ steht, positiv und bei ${}d{\frac {X}{Z}}$ negativ und dreht sich um, wenn man im Differential Zähler und Nenner vertauscht.

Wir behaupten, dass es sich stets um die gleiche Differentialform handelt. Wegen der Quotientenregel

${}d{\frac {X}{Y}}=-\left({\frac {X}{Y}}\right)^{2}d{\frac {Y}{X}}\,$

kann man die Zähler und Nenner im Bruch vertauschen. In ${}\Omega _{Q(K[X,Y,Z]/(F)){|}K}$ gilt (unter Verwendung von ${}dF=0$ und Aufgabe)

${}{\begin{aligned}{\frac {\partial F}{\partial X}}d{\frac {X}{Y}}&={\frac {\partial F}{\partial X}}{\left({\frac {1}{Y}}dX-{\frac {X}{Y^{2}}}dY\right)}\\&={\frac {1}{Y}}\cdot {\frac {\partial F}{\partial X}}dX-{\frac {X}{Y^{2}}}\cdot {\frac {\partial F}{\partial X}}dY\\&=-{\frac {1}{Y}}{\left({\frac {\partial F}{\partial Y}}dY+{\frac {\partial F}{\partial Z}}dZ\right)}-{\frac {X}{Y^{2}}}\cdot {\frac {\partial F}{\partial X}}dY\\&=-{\frac {1}{Y}}\cdot {\frac {\partial F}{\partial Z}}dZ+{\frac {1}{Y^{2}}}{\left(-X{\frac {\partial F}{\partial X}}-Y{\frac {\partial F}{\partial Y}}\right)}dY\\&=-{\frac {1}{Y}}\cdot {\frac {\partial F}{\partial Z}}dZ+{\frac {1}{Y^{2}}}{\left(Z{\frac {\partial F}{\partial Z}}\right)}dY\\&=-{\frac {\partial F}{\partial Z}}{\left({\frac {1}{Y}}dZ-{\frac {Z}{Y^{2}}}dY\right)}\\&=-{\frac {\partial F}{\partial Z}}d{\frac {Z}{Y}},\end{aligned}}$

woraus sich

${}{\frac {Y^{2}}{\,{\frac {\partial F}{\partial Z}}\,}}d{\frac {X}{Y}}=-{\frac {Y^{2}}{\,{\frac {\partial F}{\partial X}}\,}}d{\frac {Z}{Y}}\,$

ergibt. Entsprechend gilt

${}{\frac {X^{2}}{\,{\frac {\partial F}{\partial Z}}\,}}d{\frac {Y}{X}}=-{\frac {X^{2}}{\,{\frac {\partial F}{\partial Y}}\,}}d{\frac {Z}{X}}\,$

und somit auch

${}{\frac {Y^{2}}{\,{\frac {\partial F}{\partial Z}}\,}}d{\frac {X}{Y}}=-{\frac {X^{2}}{\,{\frac {\partial F}{\partial Z}}\,}}d{\frac {Y}{X}}={\frac {X^{2}}{\,{\frac {\partial F}{\partial Y}}\,}}d{\frac {Z}{X}}\,.$

Wenn man alles mit ${}H$ multipliziert, ergeben sich entsprechende Darstellungen für die Differentialform der Satzaussage.

Auf ${}D_{+}(Y)$ besitzt die Form Darstellungen mit ${}{\frac {\partial F}{\partial Z}}$ und mit ${}{\frac {\partial F}{\partial X}}$ im Nenner. Wegen

${}X{\frac {\partial F}{\partial X}}+Y{\frac {\partial F}{\partial Y}}+Z{\frac {\partial F}{\partial Z}}=0\,$

auf ${}V(F)$ folgt für einen Punkt ${}P\in D_{+}(Y)$, in dem die beiden partiellen Ableitungen, die als Nenner der Form auftreten, verschwinden, dass auch die dritte partielle Ableitung verschwindet. Dies ist aber ein Widerspruch zur Glattheit. D.h. für jeden Punkt gibt es eine Darstellung der Form und die Form ist global definiert.

Zur bewiesenen Aussage