Projektive ebene Kurve/Glattheit/X^4+Y^3Z+Z^4/C/Aufgabe/Lösung

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Sei ein Punkt der Kurve. Wenn ist, so muss auch sein. Da dies keinem Punkt der Kurve entspricht, folgt, dass die Kurve von und überdeckt wird. Daher können wir mit den inhomogenen Kurvengleichungen in diesen beiden affinen offenen Mengen arbeiten.

. Wir setzen und erhalten die Gleichung . Die partiellen Ableitungen sind

Wir müssen schauen, ob es Punkte auf der Kurve gibt, wo diese beiden Ableitungen verschwinden. Diese beiden Gleichungen sind nur bei simultan erfüllbar, doch das ist kein Punkt der Kurve.

. Wir setzen und erhalten die Gleichung . Die partiellen Ableitungen sind

Da wir die Punkte mit -Koordinate schon abgehandelt haben, können wir annehmen. Dann hat man die Kurvenbedingung und die zweite Ableitungsbedingung, also . Daraus folgt aber und somit ,

was aber keine Lösung ist. Die Kurve ist also auch in diesen Punkten glatt.
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