Projektive ebene Kurve/Glattheit/X^4+Y^3Z+Z^4/C/Aufgabe/Lösung

Sei  ${}P=(x,y,z)$  ein Punkt der Kurve. Wenn  ${}x=y=0$  ist, so muss auch  ${}z=0$  sein. Da dies keinem Punkt der Kurve entspricht, folgt, dass die Kurve von ${}D_{+}(X)$ und ${}D_{+}(Y)$ überdeckt wird. Daher können wir mit den inhomogenen Kurvengleichungen in diesen beiden affinen offenen Mengen arbeiten.

${}D_{+}(X)$. Wir setzen  ${}X=1$  und erhalten die Gleichung  ${}1+Y^{3}Z+Z^{4}=0$.  Die partiellen Ableitungen sind

${\frac {\partial {\left(1+Y^{3}Z+Z^{4}\right)}}{\partial Y}}=3Y^{2}Z\,\,{\text{ und }}\,\,{\frac {\partial {\left(1+Y^{3}Z+Z^{4}\right)}}{\partial Z}}=Y^{3}+4Z^{3}.$

Wir müssen schauen, ob es Punkte auf der Kurve gibt, wo diese beiden Ableitungen verschwinden. Diese beiden Gleichungen sind nur bei  ${}Y=Z=0$  simultan erfüllbar, doch das ist kein Punkt der Kurve.

${}D_{+}(Y)$. Wir setzen  ${}Y=1$  und erhalten die Gleichung  ${}X^{4}+Z+Z^{4}=0$.  Die partiellen Ableitungen sind

${\frac {\partial {\left(X^{4}+Z+Z^{4}\right)}}{\partial X}}=4X^{3}\,\,{\text{ und }}\,\,{\frac {\partial {\left(X^{4}+Z+Z^{4}\right)}}{\partial Z}}=1+4Z^{3}.$

Da wir die Punkte mit ${}X$-Koordinate ${}\neq 0$ schon abgehandelt haben, können wir  ${}X=0$  annehmen. Dann hat man die Kurvenbedingung und die zweite Ableitungsbedingung, also  ${}Z+Z^{4}=0=1+4Z^{3}$.  Daraus folgt aber  ${}3Z^{4}=0$  und somit  ${}Z=0$, 

was aber keine Lösung ist. Die Kurve ist also auch in diesen Punkten glatt.

Zur gelösten Aufgabe