Projektive ebene Kurve/Glattheit/X^4+Y^3Z+Z^4/C/Aufgabe/Lösung

Sei ${}P=(x,y,z)$ ein Punkt der Kurve. Wenn ${}x=y=0$ ist, so muss auch ${}z=0$ sein. Da dies keinem Punkt der Kurve entspricht, folgt, dass die Kurve von ${}D_{+}(X)$ und ${}D_{+}(Y)$ überdeckt wird. Daher können wir mit den inhomogenen Kurvengleichungen in diesen beiden affinen offenen Mengen arbeiten.

${}D_{+}(X)$. Wir setzen ${}X=1$ und erhalten die Gleichung ${}1+Y^{3}Z+Z^{4}=0$. Die partiellen Ableitungen sind

${\frac {\partial {\left(1+Y^{3}Z+Z^{4}\right)}}{\partial Y}}=3Y^{2}Z\,\,{\text{ und }}\,\,{\frac {\partial {\left(1+Y^{3}Z+Z^{4}\right)}}{\partial Z}}=Y^{3}+4Z^{3}.$

Wir müssen schauen, ob es Punkte auf der Kurve gibt, wo diese beiden Ableitungen verschwinden. Diese beiden Gleichungen sind nur bei ${}Y=Z=0$ simultan erfüllbar, doch das ist kein Punkt der Kurve.

${}D_{+}(Y)$. Wir setzen ${}Y=1$ und erhalten die Gleichung ${}X^{4}+Z+Z^{4}=0$. Die partiellen Ableitungen sind

${\frac {\partial {\left(X^{4}+Z+Z^{4}\right)}}{\partial X}}=4X^{3}\,\,{\text{ und }}\,\,{\frac {\partial {\left(X^{4}+Z+Z^{4}\right)}}{\partial Z}}=1+4Z^{3}.$

Da wir die Punkte mit ${}X$-Koordinate ${}\neq 0$ schon abgehandelt haben, können wir ${}X=0$ annehmen. Dann hat man die Kurvenbedingung und die zweite Ableitungsbedingung, also ${}Z+Z^{4}=0=1+4Z^{3}$. Daraus folgt aber ${}3Z^{4}=0$ und somit ${}Z=0$,

was aber keine Lösung ist. Die Kurve ist also auch in diesen Punkten glatt.

Zur gelösten Aufgabe