Projektive ebene Kurve/Glattheit/X^4+YZ^3+Z^4/C/Aufgabe/Lösung

Wir behaupten, dass der Punkt ${}(0,1,0)$ ein nichtglatter Punkt der Kurve ist. Es handelt sich dabei offenbar um einen Punkt der Kurve. Der Punkt liegt in der offenen Umgebung

${}{\mathbb {A} }_{\mathbb {C} }^{2}\cong D_{+}(Y)\subset {\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{2}\,,$

sodass wir darauf arbeiten können. Wir setzen also ${}Y=1$ und erhalten die inhomogene Gleichung ${}X^{4}+Z^{3}+Z^{4}=0$. Die partiellen Ableitungen sind ${}{\frac {\partial {\left(X^{4}+Z^{3}+Z^{4}\right)}}{\partial X}}=4X^{3}$ und ${}{\frac {\partial {\left(X^{4}+Z^{3}+Z^{4}\right)}}{\partial Z}}=3Z^{2}+4Z^{3}$.

Diese verschwinden beide im besagten Punkt, daher handelt es sich um einen nichtglatten Punkt. Somit ist die Kurve nicht glatt.

Zur gelösten Aufgabe