Projektiver Raum/C/Kegelabbildung/Einschränkung auf Quadrik/Aufgabe

Es sei

${}Q=V{\left(X_{0}^{2}+X_{1}^{2}+\cdots +X_{n}^{2}-1\right)}\subset {{\mathbb {A} }_{\mathbb {C} }^{n+1}}\,$

und betrachte die Gesamtabbildung

$\varphi :Q\longrightarrow {{\mathbb {A} }_{\mathbb {C} }^{n+1}}\setminus \{0\}\longrightarrow {\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{n},$

wobei hinten die Kegelabbildung steht. Ist ${}\varphi$ surjektiv? Wie verhält sich ${}\varphi$ zur Einschränkung der Kegelabbildung auf die reell ${}2n+1$-dimensionale Sphäre ${}S^{2n+1}\subset \mathbb {R} ^{2n+2}\cong {\mathbb {C} }^{n+1}$?

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