Projektiver Raum/Getwistetes Geradenbündel/Geometrische Realisierung/Beispiel

Wir betrachten den projektiven Raum

${}{\mathbb {P} }_{K}^{n}=\operatorname {Proj} \left(K[X_{0},X_{1},\ldots ,X_{n}]\right)\,$

und das projektive Spektrum

${}W_{k}=\operatorname {Proj} \left(K[X_{0},X_{1},\ldots ,X_{n},Y]\right)\,,$

wobei die Grade von ${}X_{i}$ gleich ${}1$ sind und ${}Y$ den Grad ${}k$ bekommt. Gemäß Fakt induziert die homogene Inklusion

${}K[X_{0},X_{1},\ldots ,X_{n}]\subset K[X_{0},X_{1},\ldots ,X_{n},Y]\,$

einen Schemamorphismus

$p\colon W_{k}\supset D_{+}(X_{0},X_{1},\ldots ,X_{n})=V_{k}\longrightarrow {\mathbb {P} }_{K}^{n}.$

Auf ${}D_{+}(X_{i})$ liegt die Abbildung

$D_{+}(X_{i})\cong \operatorname {Spek} \left(K[{\frac {X_{j}}{X_{i}}},j\neq i,{\frac {Y}{X_{i}^{k}}}]\right)\longrightarrow D_{+}(X_{i})\cong \operatorname {Spek} \left(K[{\frac {X_{j}}{X_{i}}},j\neq i]\right)$

vor, also ein triviales Geradenbündel. Zu ${}D_{+}(X_{i})$ und ${}D_{+}(X_{j})$ werden die Übergangsabbildungen über

${}\Gamma \left(D_{+}(X_{i}X_{j}),{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{K}^{n}}\right)=K[{\frac {X_{r}}{X_{i}}},r\neq i,{\frac {X_{s}}{X_{j}}},s\neq j]\,$

durch ${}{\frac {Y}{X_{i}^{k}}}\mapsto {\frac {Y}{X_{j}^{k}}}\cdot {\frac {X_{j}^{k}}{X_{i}^{k}}}$ gegeben. Diese sind also linear und es liegt ein Geradenbündel über dem projektiven Raum vor.