Projektiver Raum/Schema/Projektion weg von einem Punkt/Beispiel

Die Unterringbeziehung

${}K[X_{1},\ldots ,X_{n}]\subseteq K[X_{0},X_{1},\ldots ,X_{n}]\,$

führt im Sinne von Fakt zu einem Schemamorphismus

${\mathbb {P} }_{K}^{n}\supset D_{+}(X_{1},\ldots ,X_{n})\longrightarrow {\mathbb {P} }_{K}^{n-1}.$

Einem ${}K$-Punkt mit den homogenen Koordinaten ${}(x_{0},x_{1},\ldots ,x_{n})$ wird der Punkt ${}(x_{1},\ldots ,x_{n})$ zugeordet, und diese Abbildung ist nur auf der angegebenen offenen Teilmenge definiert, es gibt keine sinnvolle Fortsetzung auf den Punkt ${}(1,0,\ldots ,0)$. Man spricht von der Projektion weg von einem Punkt. In den affinen Räumen ${}{{\mathbb {A} }_{K}^{n+1}}$ bzw. ${}{{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$ interpretiert bedeutet die Abbildung, dass eine jede Gerade auf eine Hyperebene projiziert wird. Für die Gerade, die „senkrecht“ auf der Hyperebene steht, ist dies nicht wohldefiniert, da die Projektion keine Gerade liefert.