Proportionalität/Rationale Zahlen/Hinführung/Bemerkung

Eine Gleichung der Form

$bx=a$

mit fixierten ganzen Zahlen $a,b$ besitzt innerhalb der ganzen Zahlen im Allgemeinen keine Lösung für $x$. Bei  $b=0$  und  $a\ne 0$  gibt es auch keine Lösung innerhalb einer sinnvollen Zahlenbereichserweiterung. Bei  $b\ne 0$  gibt es hingegen innerhalb der rationalen Zahlen eine eindeutige Lösung, nämlich

$x=\frac{a}{b}.$

Wir führen nun die rationalen Zahlen, ausgehend von $\mathbb{Z}$, ein, und zwar zunächst als Menge von Brüchen mit einer bestimmten Identifikation. Anschließend definieren wir eine Addition und eine Multiplikation auf dieser Menge und weisen, ebenfalls unter Bezug auf die ganzen Zahlen, die Gültigkeit der wichtigsten Rechengesetze nach.

Als eine Motivation für die folgende Gleichsetzung von unterschiedlichen Brüchen betrachten wir nochmal die Proportionalität. Zwei ganze Zahlen $r\ne 0$ und $s$ definieren einen proportionalen Zusammenhang $\phi$, der an der Stelle $r$ den Wert $s$ besitzt. Er besitzt dann an der Stelle $nr$ den Wert $ns$. Dieser Zusammenhang besteht unabhängig davon, ob er durch eine ganzzahlige Konstante $c$ in der Form  $\phi (x)=cx$  beschrieben werden kann. Ein proportionaler Zusammenhang ist durch ein einziges von $(0,0)$ verschiedenes Zahlenpaar eindeutig festgelegt. Er kann durch die Gerade, die durch $(0,0)$ und $(r,s)$ verläuft, graphisch dargestellt werden, unabhängig davon, ob der proportionale Zusammenhang auf ganz $\mathbb{Z}$ definiert ist oder nicht. Dabei bestimmen zwei ganzzahlige Paare $(r,s)$ und $(r^{\prime },s^{\prime })$ genau dann den gleichen Zusammenhang (die Steigungen der zugehörigen linearen Graphen stimmen überein), wenn sie an der Stelle $r{r}^{\prime }$, wo man die Werte unmittelbar vergleichen kann, den gleichen Wert besitzen. Die Werte sind an dieser Stelle $s{r}^{\prime }$ bzw. $s^{\prime }r$, sodass genau im Fall

$r^{\prime }s=r{s}^{\prime }$

die beiden proportionalen Zusammenhänge als gleich zu betrachten sind. Dies ist eine Grundlage für die in der folgenden Definition auftretende Überkreuzregel.