Proportionalität/Rationale Zahlen/Motivation/Bemerkung

Wir betrachten eine Gleichung der Form

$b=az$

mit fixierten ganzen Zahlen  $a,b\in \mathbb{Z}$  und der unbekannten Zahl $z$. Diese Gleichung besitzt innerhalb der ganzen Zahlen genau dann eine Lösung, wenn $a$ ein Teiler von $b$ ist. Dies ist eine unmittelbare Umformulierung der Teilerbeziehung. Wenn dies der Fall ist und  $a\ne 0$  ist, so ist die eindeutig bestimmte Lösung $z$ gleich dem ganzzahligen Quotienten $b/a$. Eine solche Gleichung ist aber, wie die obigen Beispiele zeigen, auch sinnvoll, wenn $a$ kein Teiler von $b$ ist. Beispielsweise kann man Äpfel verkaufen und dabei drei Äpfel zum Preis von zwei Euro anbieten. Dann ist klar, dass sechs Äpfel vier Euro kosten usw. Es liegt auch hier eine Proportionalität vor, es lässt sich aber kein Proportionalitätsfaktor innerhalb der natürlichen Zahlen angeben. Der Preis für einen Apfel ist keine natürliche Zahl, aber das Verhältnis zwischen Preis zu Apfelanzahl ist konstant. So wie die Lösbarkeit der allgemeinen Differenzgleichung

$b=a+z$

Ausgangspunkt und Motivation zur Einführung der ganzen Zahlen war, ist die Lösbarkeit der allgemeinen Proportionalitätsgleichung

$b=az$

(mit $a\ne 0$) Ausgangspunkt und Motivation zur Einführung der rationalen Zahlen. Wir möchten also sinnvolle Zahlen $b/a$ mit der charakteristischen Eigenschaft haben, dass sie mit $a$ multipliziert die Zahl $b$ ergeben. Da $a$ ganzzahlig ist, sagen wir aus ${\mathbb{N}}_{+}$, kann man diese Multiplikation auf die $a$-fache Addition von $b/a$ mit sich selbst zurückführen. Wir suchen also eine Strecke, die, wenn man sie $a$-mal hintereinander hinlegt, die Strecke $b$ ergibt.